生存模型、简单寿险和简单年金的期望现值计算、生命表。
“知识点串讲”系列的定位是条理清晰，逻辑分明地梳理知识点。介于科普和应试之间：
知识点串讲系列的风格和我的授课风格一致，力求以生动的例子引导大家的学习兴趣，让大家看到这些枯燥的公式时就能马上联想到其用途，什么场景什么题目里会经常用到。
举个例子。你说你刚刚在街上看到一个漂亮小姐姐，你的小伙伴可能不为所动，但是，你要形容小姐姐有一头乌黑的秀发，眨巴眨巴的大眼睛，玲珑的曲线和一米八的大长腿，长得还有点像全智贤，你的小伙伴可能就坐不住了，马上会问：在哪儿在哪儿？
就在这儿呢。
本文涉及的知识点对应CM12021版CMP的以下章节：
以及CS22019版CMP的以下章节：
有风险的地方就有保险。作为一名精算师，我的日常工作就是帮助保险公司管理风险。
所谓风险，就是不确定性事件的损失频率和损失强度的函数。在寿险精算中：
损失频率对应的是生死概率；
损失强度对应的是保险金额（Sumassured）。
其中：人寿保险及年金保险按设计类型分为普通型、分红型、万能型、投资连结型等。
上述人身保险的共同特点是期限较长且具有不确定性，因此，要计算保险合同约定的保险金的期望现值，需要同时考虑：
我们先根据图像观察人类的死亡规律。典型的人类死亡力曲线如下图：
那么如何构建死亡概率与年龄的模型呢？我们引入余命随机变量的概念。
我们用\((x)\)表示当前为\(x\)岁的个体（alifeaged\(x\)），其中\(x\geq0\).用\(T_{x}\)和\(K_{x}\)表示余命（futurelifetime）的随机变量：
\[F_{x}(t)=P(T_{x}\leqt)\]
\[S_{x}(t)=1-F_{x}(t)=P(T_{x}\geqt)\]
\[f_{x}(t)=\dfrac{d}{dt}F_{x}(t)\]
为了表示起来更为便利，精算师定义了自己的一套精算符号标记（actuarialnotation）。用\(\px{t}{x}\)和\(\qx{t}{x}\)分别表示\(S_{x}(t)\)和\(F_{x}(t)\).
\[\px{t}{x}=S_{x}(t)=P(T_{x}>t)\]
\[\qx{t}{x}=F_{x}(t)=P(T_{x}\leqt)\]
\[\qx{t|u}{x}=P(t 在表示1年期的概率时，上述符号中的1可以省略，即： 为了能够把\(T_{x}\)的累积分布函数、生存函数和概率密度函数的式子写出来，我们还需要再引入一个函数：死亡力。 要回答这个问题，不妨听Jackie讲个故事。 爱因斯坦和牛顿捉迷藏，爱因斯坦捉人，牛顿躲猫猫。 没多久，爱因斯坦看见了牛顿，于是笑着走过去说：“牛顿，我捉住你了。” 牛顿指向地面笑着说：“你捉住的不是我。看我脚下是什么？” 爱因斯坦更奇怪了：“你脚下不就是个一平方米的地砖？” 牛顿说：“对，所以你抓到的不是牛顿，而是牛顿每平方米，也就是帕斯卡。” 所以请注意，死亡力是率（rate），而不是概率（probability）。 有了死亡力函数，我们就可以写出\(\px{t}{x}\)和\(\qx{t}{x}\)的两个重要积分式：\[\px{t}{x}=exp{(-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds)}\] \[\qx{t}{x}=\int_{0}^{t}\px{s}{x}\cdot\mu_{x+s}ds\] 以及\(T_{x}\)的概率密度函数：\[f_{x}(t)=\px{t}{x}\cdot\mu_{x+t}\] 生存和死亡概率解决后，结合利息理论的知识，我们就可以计算保险金的期望现值。 对于寿险来说，发生保险事故时给付的保险金（benefit）等于合同事先约定的保险金额（sumassured，简称保额）。在标准化的寿险精算EPV符号中，保额默认是1块钱。 以一个最简单的寿险险种——终身寿险（wholelifeassurance）为例：当被保险人死亡时，保险公司给付保险金。 先问个简单的问题： Doyouknowthedifferencebetweenamanandawholelifepolicy 你知道男人和终身寿险有什么区别吗？ Awholelifepolicyeventuallymatures. 终身寿险总有到期（成熟）的那一天。（言下之意，男人永远不会成熟） 终身寿险总有到期的那一天，换句话说，终身寿险必定会给付保险金额，因为： 一个人，出生了，死就不再是一个可以辩论的问题，而只是上帝交给他的一个事实；上帝在交给我们这件事实的时候，已经顺便保证了它的结果，所以死是一件不必急于求成的事，死是一个必然会降临的节日。——史铁生《我与地坛》 这也解释了为什么我们习惯把寿险称为“assurance”，而不是“insurance”： 你可能会问，死亡的发生都已经是必然的了，那还要精算师来算什么呢？ 原因在于，死亡发生的时点（Timing）是不确定的，换句话说，保险金的给付时点是不确定的。正是因为不确定性的存在，像Jackie这样的算命先生才有了用武之地。上文中我们已经用\(T_x\)描述出了死亡发生的时点。 死亡年度末给付（payableattheendoftheyearofdeath）1块钱的终身寿险的保险金的期望现值\(A_x\)：\[A_x=E[v^{K_{x}+1}]=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}\cdotP(K_{x}=k)=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}\cdot\qx{k|}{x}\] 死亡时立即给付（payableimmediatelyondeath）1块钱的终身寿险的保险金的期望现值\(\bar{A}_x\)：\[\bar{A}_x=E[v^{T_{x}}]=\int_0^{\infty}v^tf_x(t)dt=\int_0^{\infty}v^t\cdot\px{t}{x}\cdot\actsymb{}{}{\mu}{}{x+t}dt\] 我们可以把期望现值的\(\sum\)积分式或\(\int\)求和式里的每一项归结为：\[\text{Amountofpayment}\times\text{Discountfunction}\times\text{Probabilityofpayment}\] 类似地，也可以写出其他几类寿险的保险金的期望现值的公式。 定期寿险（termassurance）：当被保险人在保险期间内死亡时，保险公司给付保险金。 \[\Ax{}{}{}{\termxn}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k+1}\cdot\qx{k|}{x}\] \[\Axz{}{}{}{\termxn}=\int_0^{n}v^t\cdot\px{t}{x}\cdot\actsymb{}{}{\mu}{}{x+t}dt\] 生存保险（pureendowment）：当被保险人生存至保险期满时，保险公司给付保险金。 \[\Ax{}{}{}{\pureendowxn}=v^n\cdotP(K_{x}\geqn)=v^{n}\cdot\px{n}{x}\] 生死两全保险（endowmentassurance）：当被保险人生存至保险期满或在保险期间内死亡时，保险公司给付保险金。生死两全保险相当于定期寿险加生存保险。 \[\Ax{}{}{}{\endowxn}=\Ax{}{}{}{\termxn}+\Ax{}{}{}{\pureendowxn}\] \[\actsymb{n|}{}{A}{}{x}=\sum_{k=n}^{\infty}v^{k+1}\cdot\qx{k|}{x}=v^{n}\cdot\px{n}{x}\cdotA_{x+n}\] 还有一大类保险产品是生存年金。 终身生存年金（Wholelifeannuity）：以年金受领人的整个未来生存期间为支付期的生存年金。 \[\ax{}{}{}{x}=E[\ax{}{}{}{\angl{K_x}}]=\sum_{k=0}^{\infty}\ax{}{}{}{\angl{k}}\cdot\qx{k|}{x}=\sum_{k=1}^{\infty}v^{k}\cdot\px{k}{x}\] \[\axzz{}{}{}{x}=E[\axzz{}{}{}{\angl{K_x+1}}]=\sum_{k=0}^{\infty}\axzz{}{}{}{\angl{k+1}}\cdot\qx{k|}{x}=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k}\cdot\px{k}{x}\] \[\axz{}{}{}{x}=E[\axz{}{}{}{\angl{T_x}}]=\int_{0}^{\infty}e^{-\deltat}\px{t}{x}dt\] 定期生存年金（Temporaryannuity）：在合同期间内且年金受领人生存的前提下进行支付的生存年金。 \[\axzz{}{}{}{\endowxn}=E[\axzz{}{}{}{\angl{\min{(K_x+1},n)}}]=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k}\cdot\px{k}{x}\] \[\ax{}{}{}{\endowxn}=E[\ax{}{}{}{\angl{\min{(K_x},n)}}]=\sum_{k=1}^{n}v^{k}\cdot\px{k}{x}\] \[\actsymb{n|}{}{\ddot{a}}{}{x}=v^{n}\cdot\px{n}{x}\cdot\axzz{}{}{}{x+n}\] \[\actsymb{n|}{}{a}{}{x}=v^{n}\cdot\px{n}{x}\cdot\ax{}{}{}{x+n}\] \[\actsymb{n|}{}{\bar{a}}{}{x}=v^{n}\cdot\px{n}{x}\cdot\axz{}{}{}{x+n}\] 最后还有一种年金是最低保证生存年金。 最低保证生存年金（Guaranteedannuity）：以年金受领人的整个未来生存期间或一个约定的支付期间两者中的较大值为支付期的生存年金。其支付期最少能够保证一个约定的期限。 \[\axzz{}{}{}{\joint{\endowxn}}=E[\axzz{}{}{}{\angl{\max{(K_x+1},n)}}]=\axzz{}{}{}{\angln}+\actsymb{n|}{}{\ddot{a}}{}{x}\] \[\ax{}{}{}{\joint{\endowxn}}=E[\ax{}{}{}{\angl{\max{(K_x},n)}}]=\ax{}{}{}{\angln}+\actsymb{n|}{}{a}{}{x}\] 死亡概率和保险金的期望现值的数学公式是写出来了，但是如果在每次出售保险的时候都现场演算一遍，顾客是等不及的。所以我们需要把这些值提前算出来，并且列在生命表里，以便查阅。 1693年天文学家哈雷，以西里西亚的博莱斯洛市的市民死亡统计为基础，编制了世界第一张生命表，精确表示了每个年龄的死亡率，提供了寿险精算的计算依据。 CM1:ActuarialMathematics科目里可以查的生命表是FormulaeandTablesforExaminationsoftheFacultyofActuariesandtheInstituteofActuaries,2ndEdition(2002)(简称Tables)，因为它的封壳是橙黄色的，所以通常也称作英精小黄书。 Tables里的生命表有： 可以发现，大部分生命表都是分性别的（男性和女性列示于不同的表中）。这是因为性别也是影响死亡风险的一个重要因素。一般来说，女性的平均预期寿命高于男性。 生命表列示了不同年龄和性别下的生命表函数，这使得我们能够对不同年龄和性别的人收取不同等级的保费。 生命表的编制是从生命表函数（lifetablefunction）\(l_x\)出发的。\(l_{x}\)定义为我们研究的目标人群在\(x\)岁的存活人数。这样，只要我们知道\(l_{x}\)，我们就可以计算出生存概率\(\px{t}{x}\)和死亡概率\(\qx{t}{x}\): 前面我们提到的死亡概率只取决于该个体当前的年龄，称为终极死亡率（ultimatemortality）.但由于保险公司会对刚投保的人群会采用医学核保等方式进行选择，因此刚投保的人的健康状况通常优于整体（population）。所以现在我们考虑死亡概率同时取决于投保人当前年龄和投保时年龄的情形。这种死亡率称为选择死亡率（selectmortality）. 每个选择生命表（selectmortalitytable），都会有选择生命表函数，例如\(\qx{}{[x]+r}\),\(l_{[x]+r}\)（对于\(r=0,1,\cdots,s-1\)）；而对于\(r\geqs\),死亡率只和年龄有关，即：\(\qx{}{x}=\qx{}{[x-r]+r}\). 将对应的生存概率\(\px{t}{x}\)和死亡概率\(\qx{t}{x}\)代入\(A_x\)和\(\ddot{a}_x\)的\(\sum\)求和式，就可以把离散型寿险和年金的期望现值也列示在生命表上。 连续型的寿险和年金在生命表中没法直接查到，要用到其与离散型寿险和年金的近似关系式。 关于寿险和年金在IFoA考试中如何查表，会在下期推文中讲解。 涉及的知识点将对应CM12021版CMP的以下章节： 博客内容遵循署名-非商业性使用-相同方式共享4.0国际(CCBY-NC-SA4.0)协议 本页文档最后更新于：2024年6月28日 Contingency 知识点串讲 西浦MTH214和利物浦MTH373复习要点（寿险精算II） 西浦MTH214和利物浦MTH373寿险精算II全书复习要点Jackie已经辅导了两届西浦和利物浦学生的寿险精算I课程（MTH217和MTH273）和寿险精算II（MTH214和... PSCStage1Course简介（CB3的前置课程） IFoA英国精算师考试PSCStage1Course简介。考CB3之前需要先完成ProfessionalSkillsCourseStage1（以前叫做OPAT）。主要...