阿基米德、牛顿和高斯这三个人，在大数学家中自成一个等级，试图按照功绩排列他们的位置，不是普通人做得到的。这三个人都在纯数学和应用数学方面掀起了浪潮：阿基米德评价他的纯数学高于它的应用数学；牛顿把他的数学发明应用于科学；而高斯宣称，做纯数学还是应用数学，对他都一样。然而，高斯还是把高等算术（他那个时代最不实用的数学研究），推崇为全部数学的皇后。
数学王子高斯是一个贫穷人家的子弟，1777年4月30日出生在德意志不伦瑞克的一个村舍里。在整个数学史中，从没有过像高斯那样早熟的人。人们不知道阿基米德何时显露出天才的迹象。牛顿最早表现出他极高的数学才能时，可能也没有被注意到。虽然有些难以置信，但是高斯在3岁以前就显示出了他的才能。晚年的高斯喜欢开玩笑，说他在会说话以前就知道怎样数数了。他终生保持着作复杂心算的非凡能力。
高斯刚过7岁就进了他的第一所学校。高斯10岁时开始上算术课。在早期的学习中，高斯发展了一生中的一个主要兴趣。他很快掌握了二项式定理，
其中n不一定是正整数，它可以是任何数。如果n不是正整数，右边的级数是无穷的，为了说明这个级数何时真正等于（1+x）^n，必须研究对x和n需要加什么限制，才能使无穷级数收敛到一个确定的有限的极限。因为，如果x=-2，n=-1，就得出荒唐的结论（1-2）^-1，就是（-1）^-1，也就是-1，等于1＋2＋2^2＋2^3＋…，以至无穷；那就是说，-1等于“无穷数”，这显然是荒唐的。
高斯赋予分析学的严格性，在他自己的习惯和他的那些同代人———阿贝尔、柯西，以及后继者——魏尔斯特拉斯、戴德金——的习惯的影响下，渐渐使数学的其他领域相形见绌，高斯以后的数学成了与牛顿、欧拉和拉格朗日的数学完全不同的东西。
从积极的意义上说，高斯是一个革命者。12岁时他已经用怀疑的眼光看欧几里得几何基础了；到16岁，他已经第一次瞥见了不同于欧几里得几何的另一种几何。一年以后，他开始探索性地批判数论中他的前辈们感到满意的那些证明，并从事于填补空白。算术是他最早获得成功的领域，成了他发表巨著的阵地。高斯对于什么是证明的本质，具有确信无疑的感知，同时又具有无人超越的、丰富的数学创造能力。这二者的结合是无坚不摧的。
高斯曾受到哲学研究的强烈吸引，不过他不久就在数学中找到了更迷人的吸引力，这对科学是幸运的。高斯在进大学时已熟练掌握了拉丁文，他的许多最伟大的著作都是用拉丁文写的。
整个研究起源于一个许多算术初学者都会向自己提出的简单问题：在循环小数的每一周期中有多少数字？高斯为了找到说明这个问题的线索，对n从1到1000计算了所有的分数1/n的小数表示。他发现了伟大得无与伦比的东西——二次互反律。因为陈述很简单，我们将描述它，同时介绍高斯发明的、在算术的术语和记号中的一个革命性改进，同余。下面涉及的所有的数都是整数。
如果两个数a，b之差（a-b或b-a）可以用数m整除，我们就说a，b相对于模m同余，或者简称为同余于模m，我们用a≡b（modm）的符号表示它。这样，100≡2（mod7），35≡2（mod11）。
设x表示一个未知数，r和m表示给定的数，r不能被m整除。是否有一个x使得
如果有，r就称作一个m的二次剩余，如果没有，r就称作一个m的二次非剩余。
如果r是m的二次剩余，那么必定能够找到至少一个x，其平方被m除余r；如果r是m的二次非剩余，那么就没有其平方被m除余r的x。这些就是上面定义的直接结论。
举例说明：13是17的二次剩余吗？如果是，必须能够找到同余。
用1，2，3，…去试，我们发现x=8，25，42，59，…都是解，所以13是17的一个二次剩余。但是x^2=5（mod17）没有解，所以5是17的一个二次非剩余。
现在自然要问，一个给定的m的二次剩余和二次非剩余是些什么呢？也就是说，在x^2≡r（modm）中给定m，当x取所有的数1，2，3，…时，什么样的数r能够出现，什么样的数r不能出现呢？
不用费太大力气就能表明，要回答这个问题，限定r和m都是素数就足够了。所以我们重新说明这个问题：如果p是一个给定的素数，什么样的素数q能使同余x^2≡q（modp）可解呢？在算术的目前状态下，这要求得太多了。不过，这种情形并不是毫无希望的。
其中p和q都是素数：如果q≡1mod4，那么同余x^2≡pmodq是可解的当且仅当x^2≡qmodp是可解的。如果q≡3mod4和p≡3mod4，那么同余x^2=pmodq是可解的当且仅当x^2≡-qmodp是可以解决的。
它是不容易证明的，事实上，它曾使欧拉和勒让德困惑过，高斯则在19岁时给出了第一个证明。由于这个互反律在高等算术以及代数的许多高深部分中非常重要，高斯试图找到它的根源。他反复考虑了许多年，直到他一共给出了6种不同的证明，其中有一种取决于正多边形的尺规作图。
高斯在1795年10月他18岁时，离开卡罗林学院，进了哥廷根大学，那时他仍然没有决定是以数学还是以哲学作为他毕生的事业。他已经发现了（18岁时）“最小二乘”法，这个方法今天在大地测量学、在观测的简化、在实际上要从大量测量结果推导出最可能值的所有工作中，都是不可或缺的。高斯与勒让德共享这一荣誉，勒让德在1806年独立发表了这个方法。这项工作是高斯对观测误差理论感兴趣的开始。误差正态分布的高斯规律，以及和它一起的钟形曲线是统计学中不可或缺的。
转折
1796年3月30日标志着高斯一生的一个转折点，在那一天，距他20岁生日正好一个月，高斯明确地决定了从事数学。学习语言仍然是他终生保持的一项爱好，但是哲学在3月的这个难忘的一天，永远失去了高斯。
同一天高斯开始记他的科学日记，这些日记是数学史上最宝贵的文件之一。第一篇记录了他的伟大发现。只是到了1898年，高斯去世后43年，这本日记才在科学界传播，当时哥廷根皇家科学院从高斯的一个孙子手里借来这本日记，进行鉴定研究。高斯在1796年至1814年这段多产期间的所有发现并没有被全部记录下来。但是许多匆匆忙忙记下来的点滴，足以确立高斯在这样一些领域——例如椭圆函数——中的领先地位。
有几则日记表明，日记完全是它的作者的私事。如1796年7月10日的日记上，记着
翻译过来，这是模仿阿基米德欢呼“Eureka（找到了）！”它说明每一个正整数都是三个三角形数的和，一个三角形数是数列0，1，3，6，10，15，…中的一个，其中（0以后的）每一个都具有1/2n（n+1）这个形式，n是任意正整数。另一种说法是，每一个形式为8n+3的数都是三个奇数平方的和：
要想证明它是不容易的。
高斯认为自己留下来的都应该是完美的艺术品，增一分则多，减一分则少。他说，一座大教堂在最后的脚手架拆除和挪走之前，还算不上是一座大教堂。高斯抱着这样的理想工作，他宁肯三番五次地琢磨修饰一篇杰作，也不愿发表他很容易就能写出来的许多杰作的概要。他的座右铭
Paucasedmatura（少些，但是要成熟）。
结果，他的一些著作必须等待很有天赋的解释者作出解释后，一般的数学家才能够理解它们，并向前迈进。他的同代人请求他放宽他那僵硬无情的完美，以便数学可以前进得更快些。但是高斯从没有放宽。直到他去世以后很久，人们才知道，有多少19世纪的数学，高斯在1800年以前就已经预见并领先了。要是他公布了他知道的结论，那么，很可能目前的数学要比现在的状况前进了半个世纪或者更多。阿贝尔和雅可比就能够在高斯停下来的地方开始，而不必把他们大部分最好的精力用在重新发现高斯早在他们出生以前就知道的东西上了，非欧几何的创造者们就能够把他们的天才转到其他事情上了。
真正概括了他献身于他那个时代的数学和物理科学的一生。
在哥廷根大学的3年是高斯一生中著述最多的时期（1795——1798）。他从1795年起就一直在构思一部关于数论的伟大著作。到1798年，这部《算术研究》实际上完成了。期间他还结识了两位数学家沃尔夫冈·鲍耶和约翰·弗里德里希·普法夫（当时德国最著名的数学家）。
在叙述《算术研究》之前，我们要看一下高斯的博士论文，《每一个单变量的有理整函数都能分解成一阶或二阶实因子的一个新证明》。
高斯认为，每一个代数方程有一个根的定理非常重要，因而他给出了4种明确的证明，最后一个证明是在他70岁时给出的。今天，一些人会把这个定理从代数转移到分析。甚至高斯也假定多项式的图形是连续曲线，而且如果多项式是奇次的，图形一定至少与坐标轴相交一次。对于任何一个初学代数的人，这都是显然的。但是在今天，没有证明它就不是显然的，而要试图证明它，又一次出现了与连续和无穷有关的那些困难。就像x^2-2=0这样简单的方程的根，也不能在任何有限步内精确地计算出来。
前言的第一句描述了这本书涉及的大致范围。
这本著作中包含的研究结果，是属于涉及整数和分数的那部分数学，无理数除外。
前3节论述同余式理论，特别详尽地讨论了二项同余式
这个精彩的算术理论，与相应的二项方程x^n=A的代数理论有许多相似之处，但是它独特的算术部分，比之与算术毫无相似之处的代数，更是无与伦比地丰富和困难。
在第4节，高斯发展了二次剩余的理论。在这里可以找到二次互反律的第一个发表了的证明。证明是令人惊奇地用数学归纳法得出的，是在任何地方都能找到的那种巧妙的逻辑的一个极好的例证。
第5节一开始从算术的观点讨论二元二次形式，接着又讨论了三元二次形式，并发现它对完成二元理论是必不可少的。二次互反律在这些困难的计划中起了十分重要的作用。对于所说的第一种形式，一般的问题是要讨论不定方程
的关于x，y的整数解，其中a，b，c，m是任意给定的整数；对第二种形式，研究的主题是方程
的整数解x，y，z，其中a，b，c，d，e，f，m是给定的整数。这个领域中的一个看起来容易、实际上困难的问题，是要给a，c，f，m施加能够保证不定方程
的整数解x，y，z存在的充分必要的限制。
第6节把前面的理论应用到各种各样的特殊情形，例如mx^2+ny^2=A的整数解x，y，其中m，n，A是任给的整数。
这部著作的顶峰是第7节，高斯应用前面的发展，特别是二次同余理论，精彩地讨论了代数方程x^n+1，其中n是任意给定的整数，从而把算术、代数和几何一起编织成了一幅完美的图案。方程x^n=1是画正n边形，或者n等分圆周的几何问题的代数公式；算术的同余x^m≡1（modp），是贯穿代数和几何，并给这个图案以简单意义的线索。
高斯的学生狄利克雷有一个令人惊奇的定理，即每一个算数级数
包含着无穷多个素数，其中a，b是没有比1大的公因子的整数。这是由分析证明的，这一点本身就是一个奇迹，因为定理考虑整数，而分析论述连续的非整数。
我们可能要问，高斯为什么他从来没有去解决费马大定理。他自己作了回答：
我对作为一个孤立命题的费马定理，实在没有什么兴趣，因为我可以很轻易地提出一大堆这样的既不能证明其成立，又不能证明其不成立的命题。
谷神星
高斯一生的第二个伟大的阶段开始于19世纪的第一天，这一天也是哲学史和天文学史上用红字标明的一天。自从1781年威廉·赫歇尔爵士发现了天王星，因而把那时已知的行星数目增加到哲学上令人满意的7个以来，天文学家们一直孜孜不倦地搜索太空，寻找太阳家族的其他一些成员。按照波得定律，它们应该存在于火星和木星的轨道之间。搜索一直毫无结果，直到朱塞佩·皮亚齐在19世纪的第一天，观察到他一开始误认为是一个正接近太阳的小彗星的天体，但是它不久就被认出是一颗新的行星——后来命名为谷神星，今天所知道的一大群很小的行星中的第一颗。
谷神星的发现和著名哲学家弗里德里希·黑格尔发表对寻找第八颗行星的天文学家的讽刺性攻击，正好在同一时候。黑格尔断言，要是他们稍稍注意一下哲学，立刻就会明白，只能有七颗行星，不多也不少。
1844年11月1日高斯写信给他的朋友舒马赫说：
你在当代哲学家谢林、黑格尔、内斯·冯·埃森贝克和他们的追随者身上看到同样的东西（数学上的无能）；读读古代哲学史中当时的大人物——柏拉图和其他人（我把亚里士多德除外）——在解释方面所用的方法。但是甚至就康德本人来说，常常也好不了多少。我认为他对分析命题与综合命题所作的区分，要么是平凡不足道的，要么是错误的。
有些问题，例如令人感动的伦理学，或我们与上帝的关系，或关于我们的命运和我们的未来的问题，我对这些问题的解答，比对数学问题的解答重视得多；但是这些问题完全不是我们能够解答的，也完全不是科学范围内的事。
谷神星（ceres）
但是甚至这样使人变得迟钝而乏味的工作，也不能磨灭高斯的创造天才。1809年他发表了他的第二部杰作《天体沿圆锥截线绕日运动的理论》，这部著作根据观测得到的数据，包括困难的摄动分析，对确定行星和彗星轨道作了详尽的讨论，制定了在以后许多年中支配计算天文学和实用天文学的规律。
1807年，高斯被任命为哥廷根天文台台长。哥廷根天文台在当时能够付给高斯的薪俸不多，但是足够满足高斯和他家庭的简单需要。正如他的朋友冯·瓦尔特肖森所写的：
正如他年轻的时候一样，在他整个老年时代，直到他辞世的那天，始终保持为一个简朴的高斯。一间小书房，一张铺着绿色台布的小小的工作台，一张漆成白色的必备的书桌，一张单人沙发，在他70岁以后，又有一把扶手椅，一个带灯罩的灯，一间没有生火的卧室，简单的饮食，一件晨衣和一顶天鹅绒的便帽，这些就足以满足他的全部需要了。
解析函数
如果高斯公开了他向贝塞尔吐露的一项发现，那么1811年可能就是可以与1801年（《算术研究》出版的那一年）相比的数学上的里程碑了。高斯已经完全弄懂了复数和它们作为解析几何平面上的点的几何表示，他向自己提出了研究这种数的、今天称为解析函数的问题。
复数z=x＋iy。当x，y以任何指定的连续方式各自取实值时，点z就在平面上移动。当给z指定一个值时，取任何一个包含z的单值表达式，诸如z或1/z等等，称为z的一个单值函数。我们用f（z）表示这样一个函数。于是，如果f（z）是特定的函数z，使得
那么显然当给z指定任何值，例如x=2，y=3，这个f（z）就因此确切地决定了一个值，z=-5＋12i。
并不是所有的单值函数f（z）都要在单复变量函数的理论中进行研究；只是单演函数被挑选出来进行详尽的讨论。
一致性和单演性是单复变量解析函数的特殊的特征。
想象一个在平面上流动的流体层。如果流体的运动没有涡流，运动的流线就可以通过画出曲线U=a，其中a是任意的实数，由某个解析函数f（z）得到，同样可以由V=b得到等位线。让a，b变动，我们就得到一个完整的运动图形，其区域我们想要多大就有多大。对于一个给定的情形，比如说围绕着一个障碍物流动的流体的情形，问题的困难部分在于选择什么样的解析函数。这样整个事情就倒了过来：研究一些简单的函数，寻找它们适合的物理问题。非常奇怪的是，这些人为准备的问题，有许多被证明在空气动力学和流体运动理论的其他实际应用中是最有用的。
单复变量解析函数的理论，是19世纪数学取得成功的最伟大的领域之一。高斯在给贝塞尔的信中，说明了这个理论中的基本定理有多么重要，但是他没有公开它，而留待柯西和后来的魏尔斯特拉斯去重新发现。由于这是数学分析史上的一个里程碑，我们要简单地描述它。
这个线积分何时为零呢？为了使线积分为零，充分的条件是f（z）是在曲线上和曲线内的每一点z都解析（一致和单演）。
超越几何级数
这就是高斯在1811年告诉贝塞尔的伟大定理，它和同一类型的另一个定理，在独立地重新发现它的柯西手里，将以推论的形式产生分析学中的许多重要结果。
1812年，拿破仑的大军拼命地挣扎着进行穿越冰冻平原的后卫战斗，也正是在这一年，高斯发表了另一项伟大的工作，这是关于超越几何级数
的工作，其中虚点表示级数按照所示的规律无限继续下去，下一项是
这个研究报告是另一个里程碑。正如已经指出的，高斯是现代第一个严格主义者。在这项工作中，为了使这个级数收敛，必须给a，b，c，x加以一些限制。它作为特殊情形，包括了分析中的许多重要的级数，例如，用于在牛顿天文学和数理物理学中反复出现的对数、三角函数和其他一些函数的计算和造表中的级数；广义的二项式定理也是一个特例。通过研究这个级数的一般形式，高斯一举解决了许多问题。从这项工作中，发展出了对19世纪物理学中的微分方程的许多应用。
虽然由于篇幅所限，无法讨论高斯对纯数学所作贡献的许多例子，但是甚至在最简单的概述中，有一个例子也是不容忽视的，这就是关于双二次互反律这项工作。它的重要性在于，它给高等算术提供了一个完全出人意料的新方向。
既然已经解决了二次互反的问题，高斯考虑任何次数的二项同余式的一般问题就是很自然的了。设m是一个给定的、不能用素数p整除的整数，且设n是一个已知的正整数，如果还能找到一个整数x，使得
那么就称m为p的一个n次剩余；当n=4时，m就是p的一个双二次剩余。
二次二项同余（n=2）的情形，对n超过2时几乎没有什么提示。高斯要讨论这些高次同余，研究相应的互反律，即x^n≡p（modq），x^n≡q（modp）之间（关于可解或不可解）的相互关系。特别是n=3，n=4的情形是要研究的。
1825年的论文开辟了新天地。在经过多次无法忍受的错误之后，高斯发现，有理整数，1，2，3，…不适宜于双二次互反律的论述；必须发明一类全新的整数。这些被称为高斯复数，是所有那些形式为a＋bi的复数，其中a，b是有理数。为了说明双二次互反律，必须对这些复整数的算术可除性规律作详尽的初步讨论。高斯作了这样的讨论，因而开始了代数数的理论。对于三次互反（n=3），他也用同样的方式发现了正确的途径。
高斯最喜爱的弟子爱森斯坦解决了三次互反问题。他还发现了双二次互反律和椭圆函数理论的某些部分之间令人惊奇的联系，高斯在这方面作过深入的研究。
高斯不由自主地专注于数学思想。他在和朋友们谈话的时候，会突然沉默下来，沉浸在他无法控制的思想中，一动不动地站在那里，茫然地凝视着周围的一切。过后他控制住了自己的思想，有意识地把他的全部力量用于解决一个困难问题，直到成功为止。他一旦抓住一个问题，在征服它之前是不会放手的，尽管他可能会同时专注于几个问题。
这种在自己思考的世界中忘掉自己的能力，高斯与阿基米德、牛顿是相似的。在另外两个方面，他也和他们不相上下：他具有精密观察的天赋和科学独创能力。这些才干，使他能够设计出他的科学研究所必需的仪器。大地测量学中的回照器就归功于高斯，这是一个巧妙的装置，信号可以利用反射光即刻实地传播出去。回照器在当时是一大进步。在高斯手里，他所用的天文仪器也得到了显著的改进。为了用于他对电磁学的重要研究，高斯发明了双线磁强计。最后，他在1833年发明了电报，并和与他一起工作的威廉·韦伯把它用来传送消息。数学天才与第一流的实验才能的结合，是全部科学中一种极为罕见的情形。
高斯与勒让德
这次争论对数学后来的发展是非常不利的，因为勒让德把他没有根据的怀疑告诉了雅可比，这样就阻止了雅克比与高斯建立起亲密的关系。在这场误会中尤其令人遗憾的是，勒让德是一个品德高尚的人，他本人是极为公正的。他命中注定要在一些领域里被比他富于想象力的数学家超过，他漫长而勤劳的一生，大部分都花费在这些领域中，而他的辛劳被年轻人——高斯、阿贝尔和雅可比——证明是多余的。高斯每一步都走在勒让德前面。然而当勒让德指责高斯做事不公正时，高斯感到他本人陷入了困境。他写信给舒马赫，埋怨说，
看来我是命中注定，几乎在我所有的理论工作中都与勒让德撞车。在高等算术中，在与椭圆求长法（寻找曲线的弧长过程）有关的超越函数的研究中，在几何基础中，都是这样，而现在，在最小二乘法中，……也用在勒让德的工作中，而且确实用得很漂亮。
高斯令人诟病的地方是，对于别人的伟大工作，特别是比较年轻的人的工作，缺乏热诚。当柯西开始发表他在单复变量函数理论中的光辉发现时，高斯对它们置若罔闻，高斯没有对柯西说一句赞扬或鼓励的话，因为高斯本人在柯西开始这项工作以前很多年，就已达到了这个问题的核心。还有，当哈密顿关于四元数的著作在1852年引起他的注意时，他什么也没有说，因为这个问题的关键早已记在他30多年前的笔记中了。他保持沉默，没有提出他的优先权。正如对他在单复变量函数理论、椭圆函数和非欧几何中的领先地位一样，高斯满足于做了这些工作。
其他伟大贡献
1800——1820年，天文学；
1820——1830年，测地学、曲面理论、保角映射；
1830—1840年，数理物理学，特别是电磁学、地磁学，以及基于牛顿定律的引力理论；
1841——1855年，拓扑学、与单复变量函数相联系的几何。
1821——1848年，高斯是汉诺威和丹麦政府大规模测地勘测的科学顾问。高斯积极投身于这项工作。他的最小二乘法和他在设计处理大量数值数据的格式方面的技巧，有了充分发挥的机会，但更重要的是，在精确测量一部分大地曲面中出现的问题，无疑提出了与所有曲面有关的更深刻、更一般的问题。这些研究将引出相对论的数学。高斯的几位前辈，特别是欧拉、拉格朗日和蒙日，已经研究过关于某些类型的曲面几何，但是它仍然有待于高斯去解决全部一般性的问题，从他的研究中产生了微分几何的第一个伟大的时期。
微分几何可以被粗略地描述为在一个点的邻近处（近到使距离的高于二次的幂可被省略）对曲线、曲面等等性质的研究。黎曼受到这项工作的启发，在1854年写出了构成几何基础的假设的经典论文，接着开始了微分几何的第二个伟大时期，今天它被应用于数理物理学，特别是广义相对论中。
高斯在他的关于曲面的著作中考虑了三个问题，提出了对数学和科学具有重要意义的理论，这三个问题是曲率的测量、保角表示（即映射）和曲面的可贴性。
高斯在曲面研究中开拓的另一个基本概念是参数表示。
上述考虑导致了曲面的参数表示。在笛卡儿的几何中，三个坐标之间的一个方程表示一个曲面。设（笛卡儿）坐标是x，y，z。我们现在用三个方程代替x，y，z的单独一个方程来表示曲面：
其中f（u，v），g（u，v），h（u，v）是新变量u，v的函数，当这些变量被消去时，就得到x，y，z的曲面方程。u，v称为曲面的参数，三个方程x=f（u，v），y=g（u，v），z=h（u，v）称为曲面的参数方程。这种表示曲面的方法当用于研究点与点之间变化很快的曲面的曲率和其他性质时，要比笛卡儿方法优越得多。
这个方法的另一个优点是，它很容易推广到任意维数的空间。只要增加参数的数目，像前面那样做就足够了。这些简单的想法导致了毕达哥拉斯和欧几里得的度量几何的推广。这个推广的基础是由高斯奠定的，但是它们对于数学和物理科学的重要意义，直到20世纪才受到充分重视。
大地测量学的研究还向高斯提示了几何学中另一个有力的方法，即保角映射方法的发展。保持角度的映射称为保角映射。在这样的映射中，单复变量解析函数理论是最有用的工具。保角映射的整个课题经常用于数理物理学及其应用，例如静电学、流体力学和它的分支空气动力学，在最后这个学科中，它在机翼理论中起了重要作用。
高斯一向仔细耕耘并取得成功的另一个几何学领域，是曲面的可贴性，它要求决定什么样的曲面能够不拉伸、不撕裂、弯曲地贴到另一个给定的曲面上。在这里，高斯发明的方法又是具有普遍性的，并具有广泛的用途。
高斯还对科学的其他领域进行了重要研究，例如对电磁学（包括地磁学），毛细现象，引力规律中椭球体（行星是特殊类型的椭球体）之间的吸引力，以及屈光学，特别是关于透镜组的屈光学等的数学理论，都作出了重要的研究。最后这个部门给他提供了一个应用他的纯抽象方法（连分式）的机会，这个方法是他在年轻时为了满足对数论的好奇心而发展起来的。
高斯不仅把所有这些东西极端地数学化了，他还善于用他的双手和双眼将数学应用于其他学科。他发现的许多特殊的定理，特别是他在电磁学和引力理论的研究中发现的定理，成了所有在物理科学方面的人们必不可少的工具。高斯在他的朋友韦伯的帮助下，为所有的电磁现象寻找一个满意的理论达许多年之久。由于没有找到他认为满意的理论，他放弃了这项尝试。如果他发现了电磁领域中的克拉克·麦克斯韦方程，他可能就满意了。
高斯的最后几年荣誉满身，但是他并没有得到他有权享受的幸福。在他去世前几个月，当那致命的疾病显露出最初的症状时，高斯仍然像他过去那样思想敏捷活跃，有着丰富的创造力。然而他只要能工作就工作，尽管他的手痉挛，他那优美清晰的书写最后难于辨认了。他写的最后一封信是给戴维·布鲁斯特爵士的，谈到电报的发明。