某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1，2，3，4，…)，称为可数无穷集。
有一天，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”。正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。
第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围，她说：“您让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号，这样，1号，3号，5号，……房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。”
过一天，又来了无穷多个旅行团，每个旅行团有无穷多个旅客，这回不仅把老板难住了，连女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久，终于也想出了办法。（因为比较繁琐，这里不详细介绍了）
希尔伯特旅馆越来越繁荣，来多少客人都难不阅聪明的老板女儿。后来女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，他问：“要是区间[0，1]上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁，要想安排下，终于失败了。康托尔教授告诉她，用对角线方法证明一切想安排下的方案都是行不通的。
由康托尔的定理，可知无穷集合除了可数集台之外还有不可数集合，可以证明：不可数集合的元素数目要比可数集合元素数目多得多。为了表示元素数目的多少，我们引进“基数”也称“势”的概念，这个概念是自然数的自然推广。可以与自然数集合N一一对应的所有集合的共同性质是它们都具有相同的数目，这是最小的无穷基数记做ω。（ω是希伯来文字母第一个，读做阿列夫)。同样，连续统(所有实数或[0，1]区间内的所有实数集合)的基数是C。康托尔还进一步证明，C＝2ω。，问题是C是否紧跟着ω。的第二个无穷基数呢？这就是所谓连续统假设。
Ps1:第三题的求解：让原来的旅客1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号。这样，1号，3号，5号……所有奇数房间就都空出来了。
然后这样安排：
让1号旅行团到3号，32号，33号，34号，…，3k号。
让2号旅行团到5号，52号，53号，54号，…，5k号。
让3号旅行团到7号，72号，73号，74号，…，7k号。
让4号旅行团到11号，112号，113号，114号，…，11k号。
将所有奇素数排成一列，也是一个可列无穷集合，然后让
1号旅行团到第1个素数的k次幂房间；
2号旅行团到第2个素数的k次幂房间；
3号旅行团到第3个素数的k次幂房间…
这样不仅安排下了所有旅客，而且空出了房间！
Ps2:其实问题一就是一个数学诡辩：老板的女儿让无穷旅馆内的每一位客人都从原房间搬到下一号的房间中，这便是一个无穷交换的过程：即1号房间的客人交换到2号房间，2号房间的客人交换到3号房间，3号房间的客人交换到4号房间........
那么请问：这种交换的过程能不能终止？（ps：就是说最后一个客人能不能住下）
对于这个问题，只能有两个答案：要么是这种交换的过程能够终止，要么这种交换的过程不能终止。
下面来看这两个答案分别会产生什么样的结果：
（1）：若这种交换的过程能够终止，则必然会终止于无穷旅馆的最后一个房间，但是根据无穷的概念，因为旅馆内的房间是无穷多的，所以是不会存在最后一个房间的，所以这种交换的过程是不能终止的。
（2）：若这种交换的过程不能终止，则：并不是所有的客人全都有房间可住，而是：总有一个客人没有房间可住，即：当1号房间的客人搬到2号房间时，2号房间的客人没有房间可住，2号房间的客人搬到3号房间时，3号房间的客人没有房间可住，3号房间的客人搬到4号房间时，4号房间的客人没有房间可住......
而“总有一个客人没有房间可住”与“所有的客人全都有房间可住”并不是同一个概念。
Ps3:区间[0，1]上每一点都占一个房间问题求解：1寸长线段上点的数目和自然数的数目尽管都是无穷的，但却不是一样大的无穷。线段上的点要比自然数的个数多得多，任何想安排下的方案都是行不通的。为了证明，我们给它们建立一一对应关系。
线段上每一点可用这一点到这条线的一端的距离来表示，而这个距离可写成小数形式：
l.0.a11a12a13a14……
2.0.a21a22a23a24
3.0.a31a32a33a34……
……
k.0.ak1ak2ak3ak4
现在我们可认选一个实数d=0.b1b2b3……，其中bk≠akk，同样，b1≠a11，b12≠a22…显然，d不等于上述任何数，因为至少第k位bk≠akk。这样，线上的点与自然数之间的一一对应就建立不起来，线上的点数所构成的无穷大数大于自然数所构成的无穷大数。
可以证明且令人惊异的是，无论线段是1寸长，1尺长还是和赤道一样长，上面的点数都是相同的。而且，平面、立方体上所有的点数与线段上所有的点数也是相等的。这种无穷是比自然数、分数的数目更高一级的无穷。同样可以证明，所有几何曲线的数目是第三级的无穷。到目前为止，还没有人想象得出更大的无穷大数。