点面结合构成了一个个图形，关于这些图我们可以想出各种问题，比如：如何让多个简单的小图副本完美地重构（覆盖）一张大图？
这就像你面对家里厨房的地板发问：我可以用商店中任意一种同尺寸的瓷砖完全覆盖整个地板吗？在现实生活中，不可能每一款瓷砖都适用于你家的厨房，一般来说必须组合不同形状的瓷砖（或者切割）才能覆盖整个地板。但是在特定的图形世界中，这个想法或许可以达成。
1963年，一位名叫格哈德·林格尔（GerhardRingel）的德国数学家提出了一个大胆的猜想：一些特定的图形总是可以被n个小图副本完美覆盖。对此，他指出：任给一棵具有n条边的树T，都能在2n+1阶完全图K2n+1中找到不重合且同构于T的2n+1个子图（即2n+1个T副本可以被完美地填充到K2n+1中）
一个拥有n(大于3且为奇数)个顶点的完整图，总能被（n-1）/2个同构不重合的子图完美覆盖
为了证明林格尔的猜想，人们发展与利用了多种数学工具，比如：概率方法、正则引理等，但似乎总有漏洞。
01林格尔猜想是什么？完整图形和树图
发布这个猜想，林格尔提出了一些基本概念：首先，从大于3的任何奇数个点开始（这个数字必须是奇数才能使推测合理），在它们之间绘制边，以便每个点都与其他所有点相连，这样创建的图形称为完整图形。
一个拥有5个点的完整图形
接下来，我们看一下另一种类型的图。它可以是一条简单的路径；也可以有其他分支，当然我们还可以在分支上继续添加分支，只要它不包含任何闭环，就可以根据需要使图更复杂，我们把这种类型的图称为树。
简单或复杂的树图
林格尔猜想是关于完整图和树之间的关系。
他说：首先，想象一个包含2n+1个点的完整图形。然后思考使用n+1个点可以制作多少棵树，事实上可以做出很多种完全不同的树。
现在，选择其中一棵树并将其放置，以使树的每个边与完整图形中的边重合。然后，将同一棵树的另一个副本放在整个图形的不同部分上。
林格尔预测，假设你从正确的地方开始放置并持续这个动作，那么你将能够完美地复制出上面的完整图形。这意味着完整图形中的每个边都被树的每条边覆盖，且树的任何副本都不会相互重叠（如下图）。
完美复制
如何理解这个猜想呢？
当已知一个完整图，如果它的点数为n（大于3且为奇数），那么该图肯定可以被n个子图完美覆盖，且子图的形状为具有(n-1)/2条边的树图；反之，如果已知一个具有m条边的树图，那么用2m+1个该树图可以构成一个具有2m+1个点的完整图。
林格尔的猜想似乎适用于11、21、31个点的完整图形，但是随着点越来越多，完整图形逐渐复杂起来，这个猜想还成立吗？
这个范围虽然很广泛，但数学界有理由相信林格尔的猜想可能是正确的。最直接的理由是：具有2n+1个点的完整图形中的边数总是可以被具有n+1个点的树中的边数等分。
事实上，数学家们很快找到了另一条证据，表明该猜想至少是可行的。
02旋转方法带来新问题：如何放置第一颗树
林格尔发布猜想后不久，加拿大一位名叫安东·科齐格（AntonKotzig）的斯洛伐克裔数学家使用此示例做出了比林格尔更大胆的预测。林格尔表示，每个具有2n+1个点的完整图都可以由具有n条边的任何树图平铺；科齐格则推测，平铺总是可以旋转的方式完成。
如果想探究他们的猜想，简单的星形树图是或许是一个不错的起点。
最简单的树图之一是星形：有一个中心点，其他边从中心辐射出来。但它不同于典型的星形图，因为边不必在点周围均匀排列，只需从同一位置向外延伸，除了在中央点之外，不能在其他任何地方相交。
简单的星形树图
确实，数学家很快观察到，具有n+1个点的星形树始终可以完美地复制到具有2n+1个点的完整图形。单单这个事实就很有趣，但是如何证明却让数学家们犯了难。
举一个简单的案例。从11个点开始，将这些点排列成一个圆形，然后将每个点与其他每个点相连以形成一个完整图（如下图）。
相连之后的完整图
然后再设想一个星形树:1个中心点，5条边从该点延伸出去（如下图）。
星形树
接下来，放置星形以使中心点与完整图中的一个点对齐，然后开始旋转，这时你将拥有一个新的星形树副本，该副本与完整图形上的另外一部分重合。
持续旋转星形树，一次旋转一个点的位置。当回到起点时，就像林格尔预测的那样，你将得到一个与之前完整图形一模一样且没有任何部分重叠的图（如下图）。
旋转后完全重合
但是这个实验依然有漏洞：星形图是规则的，因此无论如何放置都无关紧要。但是大多数树并不是，假如树上有许多不同长度的不同分支，那么只有正确放置它们才能使旋转方法起作用，且此时如何放置第一步将至关重要。
幸运的是，数学家们最终找到了一个直观的色彩方法。
03通过颜色编码找到树的彩虹副本
颜色编码在生活中有很多应用，比如它可以帮助区分日常工作的紧急程度、完成情况等。事实证明，这也是找出如何放置第一颗树的有效方法。
如何进行颜色编码呢？首先，想象围绕一个圆排列的11个点的完整图，编码规则是根据距离（通过一条边连接的两个点之间的距离）进行上色。
假设如果两个点彼此相邻，则它们之间的距离为1，如果两个点中间相隔一个点，则它们之间的距离为2（如下图）。
如何计算距离
现在根据距离为完整图的边上色。距离为1的所有点的边都涂成相同的颜色，例如蓝色。距离为2的点的所有边也都标记相同的颜色，例如黄色。继续这样操作，以使连接点的边距相等的距离都标记相同的颜色。
结果证明，在具有2n+1个点的完整图形上，你需要n种不同的颜色来执行该方案（如下图）。
上色后的完整图形
给完整图形按颜色编码后，如何找到放置第一颗树的方法呢？
这个想法是将树定位，使其覆盖每种颜色的一个边，且不覆盖任何颜色两次（如下图），数学家们将此位置称为树的彩虹副本。对于一个具有2n+1个点的完整图来说，由于着色需要n种颜色，并且其彩虹副本总是具有n+1个点的树图，因此我们知道彩虹副本是存在的。
上色后出现树的彩虹副本
至此，数学家们就可以通过证明每个具有2n+1个点的完整图包含具有n条边的树的彩虹副本，来证明林格尔的猜想。如果彩虹副本始终存在，则完全覆盖完整图始终有效。
04如何完美放置是证明猜想的最后一步
如果有一个包含11（2n+1=11,则n=5）个点，且已用5种不同颜色上色的完整图形，以及一个包含6个点、5条边的树图，你的任务是在完整图中找到树的彩虹副本。
随着工作不断进行，放置下一个树的工作越来越难，因此你可能需要提前做好计划。三个数学家从一开始就知道，找到彩虹副本或许不难，难得是如何放置。就好像打包过行李箱，众所周知，我们应该从最困难、最复杂的物体开始，比如手提箱、自行车等，因为无论如何，你最后总能找到缝隙塞进一些小东西，数学家们也采纳了这一哲学。
想象一棵有11条边的树，其中6条边的点集中在一起。剩下的大部分是单一的形状，像卷须一样（如下图）。
类似卷须一样的复杂树图
最难放置的部分是具有6条边的点。因此，数学家将它与树的其余部分分开，然后将其首先放置。这就像你要把一张床移到楼上必须得先拆卸再进行组装一样。
通过这样做，他们确保了整个图形中的剩余空间是随机的。
这三位数学家的研究表明，一旦嵌入了树图最难的部分，且完整图的剩余空间是随机的，那么总有一种方法可以嵌入树的其余部分以获得彩虹副本。
除此之外，三位数学家的研究结果给类似未解决的问题提供了新思路。或许适当调整一下还可以解决更多未知猜想。