数据模型及决策课程案例分析报告

好身体公司（BFI）在长岛自由港工厂生产健身练习器械。最近他们设计了两种针对家庭锻炼所广泛使用的举重机。两种机器都是用了BFI专利技术，这种技术提供给使用者除了机器本身运动功能之外的一些其他额外的运动功能。直到现在，这种功能也只有在很昂贵的、应用于理疗的举重机上才可以获得。

在最近的交易展销会上，举重机的现场演示引起了交易者浓厚的兴趣，实际上，BFI现在收到的订单数量已经超过了这个时期BFI的生产能力。管理部门决定开始这两种器械的生产。这两种器械分别被BFI公司命名为BodyPlus100和BodyPlus200，由不同的原材料生产而成。

BFI的总裁相信BodyPlus200的独特功能可以帮助BFI成为高端锻炼器械的领导者。所以，他认为BodyPlus200的数量至少会占到整个生产数量的25%。

管理报告

分析BFI的生产问题，为公司的总裁准备一份报告，告诉他们你的发现和建议。报告包括以下几个方面（不仅于此）：

（1）BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？

（2）BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？

（3）为了增加利润应扩展哪方面的努力？

把你的线性规划模型和图形解作为你报告的附录部分。

二、问题分析与模型建立

根据案例对好身体公司（BFI）两种器械产品BodyPlus100和BodyPlus200的描述，用

表格形式列举出该两种产品的各项基本信息，表格如下：

表1.1

（1）BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？设BodyPlus100的建议生产数量是x1，BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润是Z，则目标函数：maxz=2400x1+3500x2—20(8x1+10x2)—15(5x1+8x2)—12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2约束条件：

8x1+10x2≤600

5x1+8x2≤4502x1+2x2≤140x1，x2≥0

（2）BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？设BodyPlus100的建议生产数量是x1，BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润是Z，则目标函数：maxz=2400x1+3500x2—20(8x1+10x2)—15(5x1+8x2)—12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2约束条件：8x1+10x2≤600

5x1+8x2≤4502x1+2x2≤140x1-3x2≤0x1，x2≥0

三、模型求解与结果解释

根据已经建立的模型，运用图解法对该问题进行求解。建立直角坐标系，用横轴代表x1，纵轴代表x2。

（1）BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？根据问题（1）约束条件：

作8x1+10x2=600直线，令x1=0，则x2=60；令x2=0，则x1=75同理，作5x1+8x2=450，2x1+2x2=140两直线得图形如下：

图1.1

由图可知，阴影部分即为可行域围，

且当x1=150/7，y=300/7时，z最大，此时maxz=181135.7

可得最优解为：x1=150/7，y=300/7

综上所述，建议生产BodyPlus100产品21台，生产BodyPlus200产品43台。该生产建议下各项约束条件情况如下：

128

≤

140

表1.2

（2）BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？根据问题（2）的约束条件，即在问题（1）的基础上增加x1-3x2≤0这一项约束条件。因此，我们在图1.1的基础上增加x1-3x2=0直线，令x1=0，则x2=0；令x1=90，则x2=30得到图形如下：

由图可知，阴影部分即为可行域围。对比图1.1和图1.2可行域围明显减小。

当由此约束条件的情况下，当x1=150/7，y=300/7时，z最大，此时maxz=181135.7