2、卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（2019北京卷理）已知复数z2i，则zz（）A.3B.5C.3D.5【解析】因为z2i，所以z2i，所以zz(2i)(2i)5.故选D.【答案】D2.（2019北京卷理）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.1B.2C.3D.4第1页（共12页）【解析】k1,s1；第一次循环：s2，判断k3,k2；第二次循环：s2，判断k3,k3；第三次循环
3、：s2，判断k3.故输出2，故选B.【答案】B3.（2019北京卷理）已知直线l的参数方程为x13t,（t为参数），则点(1,0)到直线l的距离是y24t（）A.1B.2C.4D.65555【解析】由题意可知直线l的普通方程为4x3y20，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l|41302|6的距离d.故选D.42(3)25【答案】D4.（2019北京卷理）已知椭圆x2y21(ab0)的离心率为1，则（）a2b22A.a22b2B.3a24b2C.a2bD.3a4b【解析】因为椭圆的离心率为ec1
4、，所以a24c2.又a2b2c2，所以3a24b2.故选B.a2【答案】B5.（2019北京卷理）若x，y满足|x|1y，且y1，则3xy的最大值为（）A.7B.1C.5D.7xy10,【解析】由|x|1y，且y1，得xy10,作出可行域如图阴影部分所示.y1.设z3xy，则y3xz，作直线l0:y3x，并进行平移.显然当l0经过点A(2,1)时，z取得最大值，zmax3215.故选C.【答案】C第2页（共12页）6.（2019北京卷理）在天文学中，天体的明暗程度
5、可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m15E1，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1,2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的lgE22星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.1010.1【解析】由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)5lgE1，所以2E2E110.1，所以E110.1lgE210.故选A.E2【答案】A7.（2019北京卷理）设点uuuruuuruuuruuuruuurA，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐
6、角”是“ABACBC”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知uuuruuuruuur【解析】因为设点BCACAB，所以uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur|ABAC||BC|等价于|ABAC||ACAB|，因模为正，故不等号两边平方得uuur2uuur2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuuruuurABAC2|AB||AC|cosACAB2|AC||AB|cos（为AB与A
7、C的夹角），整理得uuuruuur0，故cos0，即为锐角.又以上推理过程可逆，所以uuuruuur4|AB||AC|cos“AB与AC的夹角为锐uuuruuuruuur角”是“ABACBC”的充分必要条件.故选C.【答案】C8.（2019北京卷理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2y21|x|y就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是（）第3页
8、（共12页）A.B.C.D.【解析】由x2y21|x|y，当x0时，y1；当y0时，x1；当y1时，x0，1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0,1)，B(0,1)，C(1,0)，D(1,1)，E(1,0)，F(1,1)，所以正确.由基本不等式，当y0时，x2y21|x|y1|xy|1x2y2，所以x2y22，所以x2y22，故2正确.如图，由知矩形CDFE的面积为2，BCE的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故错误.故选C.【答案】C第卷二、填空题
9、：本题共6小题，每小题5分。9.（2019北京卷理）函数f(x)sin22x的最小正周期是【解析】由降幂公式得f(x)sin22x1cos4x1cos4x1,所以最小正周期T2.22242【答案】210.（2019北京卷理）设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5，Sn的最小值为【解析】因为a2a1d3，S55a110d10，所以a14,d1，所以a5a14d0，所以通项公式ana1(n1)dn5.令an0，得n5，即数列an的前4项为负，a50，第6项及以后的项为正.
10、所以Sn的最小值为S4S510.第4页（共12页）【答案】0，1011.（2019北京卷理）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为【解析】由题意知，去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S(24)226，高等于正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6424.又正方体的体积为4364，所以该几何体的体积为642440.【答案】4012.（2019北京卷理）已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；mP；l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作
11、为结论，写出一个正确的命题：【解析】已知l，m是平面外的两条不同直线，由lm与mP，不能推出l，因为l与可以平行，也可以相交但不垂直；由lm与l能推出mP；由mP与l能推出lm.故正确的命题是或.【答案】若lm，l，则mP（答案不唯一）13.（2019北京卷理）设函数f(x)exaex（a为常数）若f(x)为奇函数，则a；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是【解析】因为()exexf(0)00，所以a1.fxa（a为常数）的定义域为R，所以eae1a0而f(x)exaexexa
12、x，由于f(x)是R上的增函数，所以f(x)0在R上恒成立.e第5页（共12页）又e2x0，所以a0，即a的取值范围是(,0【答案】1，(,014.（2019北京卷理）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金
13、额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为【解析】顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为6080140（元），超过了120元可以优惠，所以当x10时，顾客需要支付14010130（元）.由题知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客想要得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120x)元，所以列出不等式(120x)80%1200.7，解得x15.即x的最大值为15.【答案】130，15三、解答题：本题共80分。15.（2019北京卷理）在ABC中，a3，bc2，cosB12
14、（1）求b，c的值；（2）求sin(BC)的值【解析】（1）由余弦定理b2a2c22accosB，得b232c223c12因为bc2，所以(c2)232c223c12解得c5所以b7（2）由cosB1得sinB322由正弦定理得sinCcsinB53b14在ABC中，B是钝角，所以C为锐角第6页（共12页）所以cosC1211sinC14所以sin(BC)sinBcosCcosBsinC43716.（2019北京卷理）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ADCD
15、，ADPBC，PAADCD2，BC3E为PD的中点，点F在PC上，且PF1PC3（1）求证：CD平面PAD；（2）求二面角F-AE-P的余弦值；（3）设点G在PB上，且PG2判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由PB3【解析】（1）因为PA平面ABCD，所以PACD又因为ADCD，所以CD平面PAD（2）过A作AD的垂线交BC于点M因为PA平面ABCD，所以PAAM，PAAD如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,1,0)，C(2,2
16、,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)因为E为PD的中点，第7页（共12页）所以E(0,1,1)uuuruuuruuur(0,0,2)所以AE(0,1,1)，PC(2,2,2)，APuuur1uuur222uuuruuuruuur224所以PFPC3,，AFAPPF,333333nuuur0,yz0,设平面AEF的法向量为n(x,y,z)，则AE即224nuuur0,AF3xyz0.33令z1，则y1，x1于是n(1,1,1)又因为平面PAD的法向量为p(1,0,0)，所以cosn,pnp3|n|
17、p|3由题知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为33（3）直线AG在平面AEF内因为点G在PB上，且PGuuur(2,1,2)2，PB，PB3uuur2uuur所以PGPB3由（）知，平面4,2,4，333AEF的法向量uuuruuuruuur4,2,2AGAPPG333n(1,1,1)uuur422所以AGn3033所以直线AG在平面AEF内17.（2019北京卷理）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100
18、人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(0,1000(1000,2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000
19、元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化说明理由第8页（共12页）【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有189330人，仅使用B的学生有1014125人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有1003025540人所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为400.4100（2）X的所有可能值为0，1，2记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从
20、样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”由题设知，事件C，D相互独立，且930.4，P(D)1410.6P(C)3025所以P(X2)P(CD)P(C)P(D)0.24，P(X1)P(CDUCD)P(C)P(D)P(C)P(D)0.4(10.6)(10.4)0.60.52,所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)00.2410.5220.241（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”假设样本仅使用A的
21、学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得11P(E)C3034060答案示例1：可以认为有变化理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化18.（2019北京卷理）已知抛物线C：x22py经过点(2,1)（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的
22、直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【解析】（1）由抛物线C：x22py经过点(2,1)，得p2所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1（2）抛物线C的焦点为F(0,1)设直线l的方程为ykx1(k0)第9页（共12页）ykx1.24kx40由得xx24y设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1x24直线OM的方程为yy1xx1令y1，得点A的横坐标
23、xAx1y1同理得点B的横坐标xBx2y2uuurx1,1uuurx2,1n设点D(0,n)，则DAn，DB，y1y2uuuruuurx1x2(n2x1x221624(n1)2.DADBy1y21)x2x2(n1)x1x2(n1)1244uuuruuur0，即4(n1)20，则n1或n3令DADB综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,3)19.（2019北京卷理）已知函数f(x)1x3x2x4（1）求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程；（2）当x2,4时，求证：
24、x6f(x)x；（3）设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2,4上的最大值为M(a)当M(a)最小时，求a的值【解析】（1）由f(x)1x3x2x得f(x)3x22x144令f(x)1，即3x22x11，得x0或x843又f(0)0，f88，327所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与y8x8，273即yx与yx6427（2）令g(x)f(x)x，x2,4由g(x)1x3x2得g(x)3x22x44令g(x
25、)0得x0或x83第10页（共12页）g(x)，g(x)的情况如表：x2(2,0)08884.0,33,43g(x)g(x)6Z064Z027g(x)的最小值为6，最大值为0故6g(x)0，即x6f(x)x（3）由（）知，当a3时，M(a)F(0)|g(0)a|a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3综上，当M(a)最小时，a320.（2019北京卷理）已知数列an从中选取第i1项、第i2项、L、第im项（
26、i1i2Lim），若ai1ai2Laim，则称新数列ai1，ai2，L，aim为an的长度为m的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（2）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为am0，长度为q的递增子列的末项的最小值为an0若pq，求证：am0an0；（3）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s1，且长度为s末项为2s1的递增子列恰有2s1个（s1,2,L）