本章探讨了史前科学中序数物的历史性出现。我在这里的论点是，这些序数物既不是静态的形式，也不是心理建构。它们是由上一章中描述的三个动力学过程所创造的转换状态。
本章展示了这些过程是如何成为三大史前科学的核心的：工具制造、标志和计算。我在这里的目的是要证明，史前民族通过同样的向心模式发明了许多不同种类的序数物。
一、工具制作
工具制造是人类最古老的活动之一。我想在此论证，工具是通过向心运动模式形成的序数物体。但什么是工具呢？正如我希望表明的那样，一个工具不仅仅是一个单一的物体，而是一系列有序的物体。更确切地说，它是一个有顺序的物体链。
法国考古学家安德烈·勒鲁瓦-古汉认为，“'工具’'在无脊椎动物和人类身上都能找到，不应该只局限于作为我们特权的人工制品”。从广义上讲，勒鲁瓦-古汉是对的。运动物体已经是一种工具。用户和工具之间没有绝对的划分，只有相对的区别，取决于一个人在操作序列中的位置。不过，没有一个使用者不同时是其他东西的工具。只有物和关系是由各种顺序的物之流编织而成的。
归根结底，我认为我们不能用这些工具性术语来定义工具。相反，我们需要看一下整个工具-物的场的秩序。正如我在这里提议的定义，工具是一系列一起运作的物的整体顺序。这意味着材料、制造者、制造过程、制造的物和物的使用都是“工具”的一部分。在这个意义上，一个工具不是一个离散的或静止的物体，而是一个物的转换循环。
一些最早的工具制造序列开始于340万到250万年前[5]。我们的类人猿祖先，澳人猿，开始将石头收集到一个中心工作点，并开始制造第一批石器。这种最早的工具制造的动力学结构是什么？首先，他们必须从东非草原广阔的周边地区收集两种不同的岩石。他们需要一种坚硬的“锤石”（hammerstone）来敲击，以及一种较软的“芯石”（corestone）来敲击。石头的顺序很关键。芯石必须比锤石更脆弱。
然而，序数顺序中的第一个物是一块坚实而平坦的地面，他们把芯石在那里。从周围不同的地形来看，制造工具的人类聚集在这个中心位置进行工作。他们按照特定的顺序创造了一个独特的序数物，平坦的表面在下面，较软的岩石在上面，较硬的岩石在这上面。通过抓握锤石，人类的身体处于这个序列的末端。制作工具需要在一个特定的系列中向心地收集所有这四种物。
一旦智人将这些物体按这个序列收集在一起，他们就开始反复循环这个顺序。具体来说，他们用锤石举起手臂，放下锤石敲击，然后重复。胳膊是身体的工具，而锤石是胳膊的工具。工具制造的动力学结构是一个循环的迭代序列。地面、芯石、锤石、手臂和身体都在这个过程中被夹带。石头、身体和大脑都进入了一个顺序，在这个顺序中，每个人都对另一个人进行转化和工作。身体塑造了岩石，而石头的重量塑造了身体的肌肉。一系列特定的岩石类型和身体运动也塑造了大脑，使其学会并完善了工具制造方法。
这种有顺序的“挖掘周期”使人类的认知和工具制造得以并肩发展。每种新工具只是整个动能领域的一个方面。这样一来，工具制造和技术同时改造了人类的思想和身体，就像这些思想和身体改造技术一样。
二、夹带
当几个运动合并或混合成一个单一流时，就会发生夹带（entrainment）现象。这就是在序数的向心排序中发生的情况。例如，生物体的昼夜节律与黑夜和白天的进展相融合。河流中的沉积物随着水流从高处流向低处而纠结。在房子的同一面墙上来回运动的钟摆也会来回夹带其运动。夹带现象描述了分歧和异质的过程如何聚集成一个有序的反馈回路。
序数物夹杂在循环的序列中，而外循环则相互转化。这也是勒鲁瓦-古汉所说的“操作序列”（Chaneopératoire）。在一个序数场中，人的身体变得有节奏地与物质世界纠缠在一起，就像一系列的钟摆在缓慢地相互同步。一个操作性的或序数序列不是通过将一个自上而下的精神模板应用于一个被动的物质位来创造的，而是通过“功能可塑性”（functionalplasticity）出现的，在这个过程中，整个系列会对自身做出反应和改变。[6]序数序列的原则“来自管理物质的规则，因此，除了在非常有限的范围内，不能被看作是人类的属性”。
例如，阿舍利双刃斧（Acheuleanbiface），一种梨形的、削尖的、石制的手斧，并不是起源于人类的大脑。它并不是像柏拉图的神匠那样，开始时只是将蓝图或想法应用于被动的石头材料。相反，双刃手斧只是整个顺序协调的物体领域中的一个物体，这些物体在小心翼翼地从两边敲击岩石而不破坏它的过程中都发挥了独特的作用。通过敲击，身体和大脑变得更加有节奏地与石头的形状和硬度相适应。较硬的石头与较软的石头纠缠在一起，进行更多的切割。通过改变锤击周期的顺序，智人可以制造出新的物品。
然而，锤击、锯切和切割的动作必须首先与各种石头的物理特性有节奏地结合起来。敲击石头的力度太大，可能会把它打碎。如果打得不够用力，则可能无法切碎它。因此，工具制造需要序列、循环、迭代和对整个领域的物进行约束。工具制造更像是即兴创作，而不是蓝图。
首先出现的不是工具对象的形式或心理蓝图，而是从外围收集石头并将它们夹带进入有顺序的向心运动。人类的身体和大脑所能做的事情与某些类型的石头可以被打破和使用的方式共同演化。物的作用和人类身体的作用都在工具制造中起作用。
三、协调工具
每个工具都是一个序数系列，人们可以与其他序数系列协调。例如，几个协调的系列塑造了阿舍利双刃斧。第一个系列是向心收集和顺序排序，从下到上：地面、芯石和锤石。第二个系列是人类手臂动作的顺序循环：抬起、敲击、重复、旋转芯石、重复。第三系列则是对前两个系列的协调。胳膊不是举起锤石，而是伸出双刃石来敲击动物、树枝或坚果。我们现在可以看到，整个使用工具的序列是通过其他手段对工具制造系列的迭代或延续。
认为工具是用于预先给定目的的有用工具的想法是倒退的。在我们使用一个物体之前，我们怎么能知道它能做什么？我们必须从以不同的方式使用该物体开始。然后，也许我们会喜欢其中的一种方式，并继续这样做。随着我们做得越来越多，我们会尝试各种变化，看看我们想要的东西是否变得更好或更糟。通过这种方式，我们通过与物的独特装置来回反应来学习使用工具。这种“自下而上”的解释并不神秘。它是一种与物体序列的即兴创作。
就双刃斧而言，智人在与挖掘周期协调的基础上即兴创作。他们像锤子一样用双刃斧敲击其他物体，看看他们能做出什么。结果是各种不同形状的物，我们的人类祖先喜欢并找到了用途。在这个过程的最后，通过即兴创作和迭代，最终形成了与所选用途相匹配的相对稳定的形式。我们称这些精制的物为“碗”、“木桩”、“棍棒”和“小屋”。
人类利用每一个工具系列来制造更多的工具，而每一个新的工具都会改变整个工具所能做的领域，相对于新的工具而言。这样一来，工具制造就像我在前一章中描述的物的序数系列一样工作。最终，新石器时代的人类开始制造越来越多的工具来完成更多的工具制造活动。例如，手工操作的铣床将“举臂、敲击、重复”的周期纳入机器的运动中。在这种情况下，人的手臂如同一个马达设备一样，转动了一个新的周期。技术史多样地分化了，但序列的动态协调仍然是其核心。
早期人类通过我们称之为“向心传输”的方式协调他们的工具制造序列。也就是说，他们在特定的地方一起制作工具。早期人类不仅选择并将物体从外围移到中心区域，将它们按顺序组装起来，而且人类的身体本身也必须集中在一起。通过这种方式，人类学习、即兴创作并协调彼此的安排。人类在社会上学习技术，也是通过这种一对一协调的结构。当一个年长的人类举起他们拿着锤子的手时，一个年轻的人也举起他的手；当年长的人用特定的力量敲击时，年轻的人也这样做，直到序列的每个细节都被一对一地重复。
四、符号
符号和各种工具制造的标记是史前科学和知识的重要组成部分，但在理论上却没有得到充分的阐述。我想在这里表明，这些标志也是通过向心运动模式产生的序数物。但什么是符号？我希望表明，符号是一个序数序列的向心聚集的标记。
据我们所知，最早的非具象标志出现在旧石器时代下、中期（公元前300,000-200,000）。这远远早于具象艺术在上旧石器时代（公元前35,000-10,000年）的出现。鉴于此，我感到惊讶的是，相对而言，很少有学者注意到早期人类所做的这些标志的种类竟然如此庞杂。这些标记包括点、线、箭头、方形、圆形、三角形、螺旋形、蜿蜒形、棋盘形、V形、Y形、M形和P形，以及其他许多标记。
一些最早的标志，如V、M和平行线，被刻在法国佩钦德阿泽洞穴（Pechdel’Azé）的一块阿舍利时代的肋骨上。这些相同的标志一直持续到几十万年后的新石器时代。鉴于这些不同标志的数量相对较少（约32个），从非洲到欧洲，它们在地理上几乎无处不在，以及它们从阿舍利时代到新石器时代的持续存在，这些标记肯定在早期人类知识中发挥着重要作用。
遗憾的是，这些符号被忽视了，或者被人们当作涂鸦或装饰而不予理会。将这些符号描述为“涂鸦”或“装饰”，意味着它们是没有意义的碎片，不值得解释。但是，为什么使用这组符号而不是其他符号？它们是如何以及为什么被选择、收集和复制了几十万年？称它们为涂鸦并没有回答这些问题，而是否定了它们。
然而，似乎很清楚的是，这些符号不是史前的字母表、书面语言或象形文字的代表。早期人类可能拥有比32个象形文字所能代表的更广泛的词汇。此外，大多数符号甚至没有任何形象性，所以它们可能不是象形文字。这些标志是在书面语言和象形文字之前的更为抽象符号。正如勒鲁瓦-古汉正确地指出的，“有一点我们可以绝对肯定，那就是图形学不是从对现实的天真表现开始的，而是从抽象开始的。”
1.论符号和顺序
我想说的是，这些早期的人类标志不是象形文字，而是“运动文字”。我的意思是，人类并不打算让它们“看起来像”别的东西，而是要留下一连串行动的痕迹。换句话说，符号不是“关于”别的东西，而更像是身体运动的有节奏的序数序列留下的痕迹。正如心理蓝图并不先于第一批工具一样，它也不先于这些最早的符号。符号的形状和意义同时出现，是同一节奏的表现的两个方面。
每个符号都有它的节奏，这取决于它有多少笔画以及每笔画有多长。如果把史前符号当作静态的物，我们就会错过其中蕴含的运动、声音和序列。我在这里的论点是，这些符号是与其他运动同时进行一对一协调的记号这些可能包括一个故事、一首歌、一段描述或一段舞蹈。做每个记号的笔画顺序和记号的序数本身可能是另一种述行的记忆装置。早期的人类可能将每个笔画与一个故事的某个部分相协调。这样一来，符号就不是代表故事，而是与故事相协调的序数物。
这些其他的运动序列是什么？没有办法确定，但它们可能是树木在风中来回移动、动物的声音、肺部的扩张和收缩、洞穴中声音的回声或雷鸣。
南非考古学家大卫·刘易斯-威廉斯（DavidLewis-Williams）已经证明，即使在完全黑暗的洞穴中，眼睛也能创造出“内视图像”（entopticimages）。眼睛里的这些图像与史前标志的网格、线条、之字形、点、螺旋形和曲线相匹配。然而，这些内视图像并不能解释冰河时期洞穴中所有的三十二种不同标志。
写这些标志的人并不是先在脑海中想象一个完美的几何形状，然后试图在洞壁上复制它。他们也不是毫无章法地随意在墙上划来划去。相反，他们先是用各种岩石和颜料的材料进行即兴创作，看看它们在不同系列中使用时能起到什么作用。然后，一旦他们找到了他们喜欢的序列，他们就把它与其他的进展进行协调。通过这种方式，他们在同一个有节奏的记录行为中同时协调两个序列。
这些史前符号并不是对普遍几何形状的尝试。这样想就不合时宜了。如果这些符号中有任何类似于“史前几何”的东西，它与完美的、不变的、毕达哥拉斯式的形式毫无关系。每个符号都是单一的、可变的和可执行的。每次绘制符号时，它都会迭代并稍微改变形状。它甚至可能再次召唤出它的协调伙伴，仿佛是第一次。这些标志的几何形状被束缚在一个人如何和在哪里画它的有节奏的顺序上。
然而，无论他们的背景是什么，最肯定的是将图形和声音序列结合在一起的动感。通常情况下，早期人类会在一排或一组中多次重复同一个符号。我们可以在西班牙的阿达乌拉洞穴（Grottadell'Addaura）和扎米尼卡洞穴（RiparodiZaMinica）中看到这种情况，那里的开角、线条、孔或点以堆叠、平行或重叠的顺序重复出现[19]。在这里，顺序和节奏的结构是引人注目的。这些符号不是字母表中的字母，也不是其他事物的代表，而是它们本身的对象。它们有节奏和序列，人类与之合作并协调。
2.材料与记忆
史前符号是身体、工具、姿态和声音之间协调的痕迹。符号并不代表世界，而是提醒史前观众在一系列手势和声音之间的特定节奏协调性。墙上或移动物体上的符号是物质记忆。它们提醒观看者一些东西，然后一些东西，然后另一些东西的序列，这些东西发生在这里，然后在这里，然后在那里。
这不是人类记忆对世界的外化，而是对一系列序数物的协调。符号是人类心理图像在被动物体世界上的外化，这种想法忽视了非人类物体已经有自己的物质记忆这一事实。每个物体在其物理结构中都保留着其历史的物质痕迹。这与人类的大脑和身体没有区别，它们也拥有这样的物理痕迹。如果是这样的话，那么符号序列就不是人类记忆的表征，而是两个物质记忆之间的协调。
五、计数
1.月亮
月亮也许是最早的被测量的物体。这个想法在“月亮”这个词的词源中还有一点痕迹，它来自拉丁语的mensis，意思是“月”，和mensura，后者与原印欧语词根-me相同，意思是测量。月亮的连续变化使得最早的记录比一天的长度还长的测量成为可能。
自然界的运动是有周期的，但月亮是最早的、最引人注目的周期之一。太阳是更加二进制的。除了日出和日落这两个短暂的例外，它要么充满光亮，要么消失。而月球则是日夜可见的，而且是有规律地依次消长。月亮的满光只是一个变化的序数系列中的一个位置，而不是一个心数的总和。最终，在历史上，太阳将取代所有物的伟大形象，但月亮在史前仍是成为巨大的序数物。
就像骨头上的缺口聚集一样，月亮的光遵循着向心的运动模式。月亮从外围收集太阳的光线，并从其中心圆盘上反射出来。根据地球的相对位置，月球反射的光线或多或少。当月亮升起时，它反射更多的光，而当它减弱时，它反射更少的光。
太阳的升起和落下周期提供了一个相对稳定的背景来测量月亮在一个月内的动态波动。相对于阴历月来说，月球日总是有多有少，而太阳日则每次都有开始和结束。
2.仪式
早期人类通过协调笛子的使用与人们中心聚集的仪式活动，将笛子变成了一种仪式物品。早期人类将符号聚集在笛子的身体上，就像他们将符号聚集在其他符号周围一样，就像他们将人们聚集在洞穴中彼此靠近一样。我们在这里可以看到，向心运动主导着仪式的结构。
这里至少有三个协调的序数系列在起作用：笛子的演奏、做标记的人和标记的数量。仪式统计表在笛子的向心面协调了所有三个序数系列。
口头故事和神话的结构具有深刻的序数性，这并不是巧合。故事是重复讲述的声音和手势的序列，每次都略有不同。仪式记录表以便携式项链的形式充当辅助记忆，因为记录表和故事都是顺序序列。提醒讲故事的人在故事中接下来会发生什么的标记不需要是具象的就能引起记忆。恰恰是缺口的序数结构最适合神话叙事所要求的序数形式。
口头故事或仪式的每一次重复都不是在第一次的基础上增加第二次或第三次，而是成倍地迭加第一次。这样一来，史前神话就不像一个圆圈，而像一个迭代的螺旋形运动。每一个新的理财和故事都会改变之前迭代的相对意义和位置。
序数物并不形成一个整体，而是一个动态的、蜿蜒的、迷宫般的过程。仪式遵循一种向心的运动，因为它将人们聚集到一个活动中心，并创造出一连串的事件。计数器是仪式的序数结构的协调痕迹。
六、结论
在这一章中，我试图说明第一批科学物的种类是如何通过史前的工具制造、符号和计数的实践出现的。我希望读者也看到了我在上一章描述的序数物的三个主要特征是如何通过这些具体的历史实践出现的。
此外，我还希望，从上述证据中可以看出，史前并没有诸如数字之类的序数类物品。我们不应忘记，史前对“一个月有多少个月亮循环”这一问题的回答不是“29.5”，而是“这么多”。本书的主要目的之一是表明，物不是普遍的形式，而是运动的出现模式。
史前物的物质性和流动性在这些运动模式的出现中也起到了关键作用。例如，敲击周期中岩石的顺序并不是人类大脑的构造，而是岩石的真实能力，即硬度和软度。同样，计算看不见的物体的想法不仅是人类的，月亮的特殊运动和机构也是其中的一部分。
我也希望这一章已经澄清，序数物和基数物之间的区别不是形式或逻辑上的区别，而是物质和历史上的区别。然而，如果基数物不是预先被赋予的实在特征，那么下一个问题就是：“它们是如何从序数物体中产生出来的？”.
II部分基数物
第六章离心物
基数物是我们最常想到的物体。我们通常用“整数”来计算事物，并倾向于把我们周围的事物看作是离散的、自我认同的统一体。这是我们对物体的默认看法，以至于我们认为人类一直是这样思考物体的。然而，正如我在上一章中试图表明的那样，在人类历史的99%中，情况并非如此。将事物作为基本对象或整体单位来思考并没有什么普遍性或必要性。它们是一种历史的发明。
对我来说，基数物的迷人之处在于它们与序数物有多么不同。序数物感觉非常直观，就像幼儿园的数学一样。然而，基数物则要抽象得多。它们是被我们当作没有质量的物体。这使我们能够在广泛的背景下创造出巨大的、相对同质的对象种类。毋庸置疑，基数物有能力以明显坚定和确定的方式对世界进行排序。
但是，如此抽象的东西是如何从一个具有如此单一和顺序性差异的世界中出现的呢？这就是本书第二部分的主题。在这个关于基数物的第一小章中，我想描述它们更一般的结构和运动模式，就像我在第一部分中对序数物所做的那样。之后，我将试图更具体和历史性地展示这种新类型的物是如何在公元前5000年左右至公元前500年的古代历史中出现的。具体来说，我将仔细研究数字、几何测量、会计和逻辑是如何帮助创造这个新的基数的场的。
基数物是通过与序数物体常不同的运动模式出现的。基数物不是将事物聚集成序列，而是将收集到的事物群作为单一的同质单位。然后，人类利用这些中心单位来重新组织和衡量其他物体。
一、什么是基数物？
乔治·康托尔将基数定义为一系列元素“聚合”成一个整体。这是一个形式上的定义，但它背后还有一个更有趣的故事。人类是什么时候开始把事物当作同质的单位，不因其相对位置和环境而改变的？怎么可能表现得好像某些东西根本就没有品质？
我相信，不管它是如何发生的，它发生在公元前3500年左右的古代美索不达米亚。这就是人类首次发明数字的地方。数是一个基数物，如我们今天使用的阿拉伯数字，1、2、3等。数字与“数”不一样，我把它更广泛地定义为任何数量级。
这是一个重要的区别，因为在数学中仍然占主导地位的信念，可以追溯到毕达哥拉斯和柏拉图，即数就是基数。“数学是科学的女王”，高斯在1856年写道，“而数论是数学的女王”。如果数论像高斯那样隐含地假定数从根本上是基数，那么基数也是数学和科学的核心。这一传统还认为，数字是理想的实体。它们是独立于物质现实的真正的基数物。
这是一个完美的例子，说明基数物具有迷人的效果，使世界看起来，至少对某些人来说，好像它是基数物的产物，而不是相反。归根结底，这是一个既不能被证明也不能被否定的形而上学的想法。相反，我想看看那些使一些古代人类有可能看到并生活在这个世界上的物质和历史条件，就好像是基数物按照它们的形象创造了这个世界。这些基数物的运动和结构模式是什么，使这种形而上学的想法在一些人看来如此合理？
基数物出现是如此引人注目，以至于许多科学史家将“科学”和“理性”的诞生等同于基数的出现，准确地说，是它们后来在古典希腊的表述。在以下几章中，我想论证一个非常不同的论点。基数值不是一个纯粹的数学概念，而是一种物质的和历史的运动模式，它将事物组织成抽象的整体、类别和单位。简而言之，我认为西方科学史上最抽象的思想是一个彻底的物质的、历史的和实践的发明。基数物是抽象的，但至少在我看来，一个抽象的东西从来不是非物质的、非历史的，或者仅仅是人类惯例的产物。抽象的产生涉及到一大堆物质运动过程。
以下各章旨在说明这些过程是如何创造和维持古代的基数物的场。简而言之，基数物创造了一个将其他物体作为“整体”进行重组、测量和计数的模式。特别是，这一章认为，基数物是通过四个主要过程在古代世界出现和传播的：离心运动、具体基数值、抽象基数值和一对多的协调。在这里，和第四章一样，我只提供了这些过程和它们如何运作的最粗略的描述。不过，在接下来的两章中，我将描述这些过程如何在各种古代科学实践中传播。在讨论历史之前，让我们先一一看看这四个内容。
二、离心运动
我所说的离心运动，是指从一个中心点向外辐射的运动模式，就像来自太阳的光。但是，中心点从哪里来？离心运动假定一组物体已经聚集到一个中心点。换句话说，离心运动需要一个最初的向心运动，因此需要一个序数物系列。只有当一连串的物体被聚集起来，才有可能把这一连串的物体算作一个封闭的或“基数”的整体。如果没有一个正在进行的物体系列被聚集起来，就没有聚集物。
假设基数物是一个“聚合成一个整体……明确而独立的对象[元素]”。正如康托尔所说。在这种情况下，基数物需要有不同的序数物存在。
从物质和历史的角度来看，说基数物首先出现是没有意义的。如果基数物先出现，那么他们收集了什么并算作“一”？另一种思考基数物的方式是将其作为修正的序数物。一旦有人聚集了足够多的序数物，其中一个就会开始具有不同于其他物的特殊地位。然后这个杰出的物开始作为群体中其他物的典范发挥作用。其他物不再是单一的，而是成为一个更大、更主要的整体的“部分”。作为部分，它们的新秩序似乎依赖于整体。没有整体，部分就不是部分了。
一旦有人把序数系列中的一个物体指定为“基数”物，他们就可以把它作为一种工具来衡量、统一和分类各种异质物体，就好像它们是一个预先存在的整体的一部分。这种基本的基数结构在古代世界的所有科学中都不同程度地出现。所有将异质物体统一为统一体的行为都是基数值的行为。抽象概念，如直角三角形、自然元素（火、水、土、空气等）或比例性，都是使用整体来排列和定义其部分的基数物。序数物，如记号、符号或工具，在这个意义上不是统一体，而是一系列的奇异体。
本章和接下来的两章认为，基数物是由持续的离心运动模式创造和维持的。在接下来的两章中，我将描述最初产生这些物品的具体历史过程。不过，在本章中，我想澄清这种运动模式如何运作的两个主要阶段。基数物并不是突然完全形成的，而是以越来越抽象的阶段出现的。
三、具体基数
基数物形成的第一个阶段是我所说的“具体”的基数物。因此，有两种我们不应该混淆的基数物：具体基数的和抽象基数。具体基数是指将序数物统一为一个单一的基数物。具体的基数物不是抽象的基数物，因为它们仍然是某些种类的群体。例如，一窝野鸡或一群大雁是一种特定的统一群体。一个具体的基数物仍然是一个合格的量。
1.区分
创造基数物的第一步是在中心和外围之间标记一个任意的、坚定的区分。这种区分将积累的物与其他物区分开来。序数序列总是在不断的不平衡中移动和改变其相对位置，就像生命、死亡和重生的无休止的循环。然而，基数物在某一点上切断了序列，以便能够将聚集集的物算作“一个”东西。
这导致了更鲜明的区分。例如，在古代的基数团体中，一些植物被认为是可以健康食用的（谷物），而另一些则不是。一些动物可以被驯化，而另一些（野生动物）则不能。随着古代社会将越来越多的序数系列（工具、图表、标志、人和动物）聚集在集中的城市，城市和荒野之间的对比变得越来越明显。最早的例子之一是将几个农业系列归纳为一个完整的“阶段”，如“一个生长季节”。人们还把月亮的连续变化分为四个“阶段”。
2.等级
创造基数物的第二步是利用内部和外部之间的尖锐差异，对物体进行或多或少的等级划分。朝向中心的物在等级上要优于外围的物。
从历史上看，这第二步是在新石器时代社会开始将知识集中在一个选定的群体、长者或酋长人物身上时开始的。大约在这个时候，仪式和劳动开始变得更加专业化和排他性。祭司和酋长的出现，慢慢巩固了发起祈祷、种植和仪式的权利。新石器时代的人类引入了劳动分工，尽管它还没有普及。人类越来越多地将专门的知识和技能集中在有特权的地方和人身上。随着城市化的兴起，突出的中心场所成为寺庙。昏暗的寺庙内部作为一个独特的对象，优于有灯光的外部世界。
新石器时代晚期的黑暗与光明、破坏性与创造性、不可见与可见之间的区别随着城市化的发展而变得更加强烈。几千年来，这些区别变成了善与恶之间的等级划分，以及看不见的知识优于可见的知识的等级划分。城市农业的兴起，使季节和至阴的“整体阶段”比每月的月亮序列的单一性更有优势。这些等级物的兴起仍然是非常具体的，因为它将一些物置于其他物之上。
3.重组
在创造基数物的第三步紧随第二步。一旦一个物或一组物被系统地赋予社会中心的特权，它就会被用来作为一个模型来重新安排外围秩序。这就是在新石器时代晚期的村庄里，人们把粮食积聚到一个中央筒仓里所发生的事情。中央粮仓的主管部门必须将粮食单位均匀地分配给村民。如果没有中央的粮食储备，专门的会计、标准化的单位和粮食代币就没有必要，就像之前几千年一样。
这样一来，一个单一的基本物就成为所有“部分”的基础。人们用同质的谷物单位来衡量生活。
四、抽象基数
创建基数物的第四步是将这个新的同质单位作为一个通用数量，而不仅仅是粮食。这最后一步并不直观，甚至近乎荒唐。一个谷物单位怎么能被用作通用的计量单位呢？如果一个苹果、一杯谷物和一头牛没有任何共同之处，在什么意义上它们都是“一”？
如果基数物“一”可以指代“任何东西中的一个”，那么这种抽象的经验就会出现一些不寻常的东西。如果我们把“一”单独看成是“任何东西中的一个”，那么我们就把这个“一”当作没有任何具体特殊性或质量的东西。这样一来，就好像这个一般的“一”预先存在，并且不为它所计算的任何特定物所改变。这是一个真正抽象的时刻，在这一时刻，人们追溯性地将导致抽象基数的整个具体过程视为基数物的产物。
在这个过程的极端，人甚至似乎创造了它所计算的具体部分。这就是随着毕达哥拉斯和柏拉图上升到历史统治地位的最后和狂热的颠倒。它完成了基数物形成的四个步骤。现在让我们来看看它的协调结构与序数对象的协调结构有什么不同。
五、一对多协调
基数物的最后一个特点是我们可以用“一对多的协调”来协调它们。在序数协调中，一个物只能与另一个物协调，而基数物可以同时将一个物与其他许多体协调。举例来说，当我们把羊等物体的不同部分都视为“一只羊”时，就会发生这种情况。
一个基数物不把它的序数部分算作1、2或3，而是把每个序数部分算作一个整体的一般部分。因此，说一个基数是其序数的算术之和是没有意义的。这个定义使用基数计数来定义基数本身。正如罗素正确地指出的，“计数不能定义数字，因为数字是用于计数的”。因此，比如说，基数值不能从其元素之和中推导出来。这是因为基数物体不是它们所计数的物的代表。它们与它们没有任何相似之处。基数物与它们所计数的物不同，只与系列协调。在我看来，我们必须记住，基数物，像所有物一样，是物质过程，而不是观念实体。
这也是包容悖论的耐人寻味的起源。所有基数物的悖论是，它们在某种程度上与所有的序数元素相同，但却没有一个特别的元素。意大利数学家切萨雷·布拉里-福蒂(CesareBurali-Forti）在1897年第一个推导出这个逻辑悖论。他说，如果有一个所有序数的集合，它将是一个大于集合中任何序数的序数，因此不会是一个所有序数的集合，因为它不包括自己。罗素和德国数学家哥德尔推导出了一个类似的自包含集的悖论。由于没有一个所有集合的集合可以在该集合中包含自己，哥德尔定理证明了没有一个绝对的元素计数不是已经与它所计数的元素不同的。
除了这些反对自包含的基数物的纯逻辑证明之外，这个悖论还有一个物的历史。从历史上看，抽象的基数物首先是作为不同于它们所“统一”的元素而出现的。基数物与被计数物的唯一真正联系是正在进行的协调的实践行为。这种实践并不是现成的，而是需要一个庞大的物质和社会领域的对象，我将在接下来的几章中描述。
但这个所谓的基数“整体”只是另一个单数物与一系列其他物的动态协调，“似乎”它们是一个整体物。这个过程也发生在书面语言的发明中，正如我在《存在与运动》中所展示的那样[31]。将一个字母与许多不同的物体和声音相协调的做法也遵循这个相同的基本结构。书面语言和数字同时出现在公元前3500年左右的美索不达米亚，并不是巧合，它们都来自相同的物质技术。数首先出现，然后人们从同样的动力学过程中衍生出书面语言。
这种一对多的协调结构也产生了“最后”的基数物的悖论。一系列的序数物总是在每个协调的基数物之前。基数物作为系列中的“最后”对象，在它之后我们不能再添加任何东西。然后，基数物将该系列中所有先前的物都算作“一个”物。然而，正如我们在上面看到的，进行计数的基本对象不能包括在它所计数的“一”中。因此，从技术上讲，它不是系列中的“最后”之物，因为它不在序数系列中。
因此，对于系列中的最后一个物到底是什么，仍然存在着基本的不确定性。它是被计算的最后一个序数物还是计算它的基数物？这样一来，基数物在这个序数序列中就没有被计算，也没有被排序。奇怪的是，这个系列被一个不在系列中的基数物所封闭和统一了。那么，统一这个特定系列的基本对象的真正身份是什么呢？这是不确定的。最后的或最后的基数物最终是任意的。既然我们不能把这个基数纳入序数系列，那么这个系列就不会受到我们用来计算的任何基数的影响。
“第一个”基数的悖论在于，在计算一个系列的“部分”时，我们已经假设它们是一个整体的一部分。根据定义，没有整体的部分就不是部分。为了使整体组织其部分，必须已经有了部分。但要想有部分，就必须有一个先于它们的整体。这就产生了一种奇怪的追溯性感觉，即基本物必须一直存在。
奇怪的是，同一个基本物同时是同一序列中的第一个、最后一个和缺失的物。在古代世界出现的“零”的概念也是基于这种现象。我们很快会进一步讨论这个问题。
关键的想法是，基数物的工作原理就像它们先于和超过它们所统一的部分。一个基数物体，像所有物体一样，有一个特定的周期。基数协调使用一个特定的周期来同时测量许多其他的周期。想象一下，一个钟摆在来回摆动。一对多的协调就像把这个摆动过程中房间里移动的任何东西都算作“一”。
五、顺序和同时性
然而，对于基数物来说，情况并非如此。一个基数物可以把任何数量或种类的物体作为一个单位来计算。我们如何计算这些部分的序数并不重要。由于它们都是同一个整体的一部分，所以每个部分都可以平等地与其他部分互换。
例如，如果我们有一个装有六个水果的篮子，我们可以把水果组织成一个系列的六块，两个序列的三部分，或三个系列的两块。无论我们如何排序，基数仍然是“一篮子水果”。无论我们如何安排水果，先是梨，先是苹果，还是先是香蕉，我们仍然有“一篮子水果”。
此后，仅仅在此之后，我们才能将篮子算作“一”，于是，我们将其分成若干不同的块。区分行为恰恰创造了物的基数序列。一旦在另一个基数加上了一个基数，就形成了基数序列。比方说，如果我们用“1”加在1上，我们就能得出基数2。只要我们在基数序列中，“更多”的量等于第一个1，这个序列就是成比例的序列。
序列所有基数物都是按照第一个基数按比例塑造的，就是原始基数的复制。0是一般总体性的“占位”（placeholder）或“基位”（baseunit）。与序数序列不同，序数变化取决于新加的物，当我们“加上更多”时，基数序列不会变化，因为模式单位是同一的。模式只能创造出更多自己。
如果两个基数有同样多的元素，它们就相等，无论我们怎么书写或思考基数5，只要集合里有5个同比例的元素，它就与其他拥有相同数量元素的集合相等。
于是，基数序列不同于序数系列的向心螺旋，只要其聚合，序数就会改变。基数序列更像是扩大的不断扩大的离心圈，向外做着离心运动，扩展程度与中心点成比例。然而，如果我们仿佛如此这般行为，中心就成为一种模式，我们用这个模式重组所有的创造出基数的物，并将其范畴化。唯有当我们认可中心的同一性，认可离心复制的比例值，那么就可以构成基数序列[33]。基数物没有任何普遍性和形式的东西。特定的人发明了一种结构，我听过整个物质过程和运动构成的场的历史来描述这一点[34]。这些过程就是下面两章的主题。
基数物的难以置信的力量和抽象化，让其可以给出一个物质性和运动性的解释。然而，本章旨在描绘出基数物的几个共同运动特征，让读者可以更清楚地了解基数物，看到这些基数物诞生于历史上的古代世界，贯穿了看似迥异不同的几门科学。
在后两章中，我会说明基数物的运动接受如何通过古代世界中的数数、计数、测量、逻辑创造出来的。