布尔代数发展到今天，已经非常抽象，但是它的核心思想很简单。本文帮助你理解布尔代数，以及为什么它促成了计算机的诞生。
我依据的是《编码的奥妙》的第十章。这是一本好书，强烈推荐。
19世纪早期，英国数学家乔治·布尔（GeorgeBoole，1815－1864）突发奇想：人的思想能不能用数学表达？
此前，数学只用于计算，没有人意识到，数学还能表达人的逻辑思维。
两千年来，哲学书都是用文字写的。比如，最著名的三段论：
所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以，苏格拉底是要死的。
乔治·布尔认为，这种推理可以用数学表达，也就是说，哲学书完全可以用数学写。这就是数理逻辑的起源。
乔治·布尔发明的工具，叫做"集合论"（Settheory）。他认为，逻辑思维的基础是一个个集合（Set），每一个命题表达的都是集合之间的关系。
比如，所有人类组成一个集合R，所有会死的东西组成一个集合D。
所有人都是要死的
集合论的写法就是：
RXD=R
集合之间最基本的关系是并集和交集。乘号（X）表示交集，加号（+）表示并集。上面这个式子的意思是，R与D的交集就是R。
同样的，苏格拉底也是一个集合S，这个集合里面只有苏格拉底一个成员。
苏格拉底是人//等同于SXR=S
上面式子的意思是，苏格拉底与人类的交集，就是苏格拉底。
将第一个式子代入第二个式子，就得到了结论。
SX(RXD)=(SXR)XD=SXD=S
这个式子的意思是，苏格拉底与会死的东西的交集，就是苏格拉底，即苏格拉底也属于会死的东西。
前面的三段论比较容易，一眼就能看出结论。但是，有些三段轮比较复杂，不容易立即反应过来。
请看下面这两句话。
"鸭嘴兽是卵生的哺乳动物。鸭嘴兽是澳洲的动物。"
你能一眼得到结论吗？
鸭嘴兽X卵生=鸭嘴兽鸭嘴兽x澳洲=鸭嘴兽
将第一个式子代入第二个，就会得到：
鸭嘴兽X卵生x澳洲=鸭嘴兽//相当于卵生x澳洲=鸭嘴兽+其他
因此，结论就是"有的卵生动物是澳洲的动物"，或者"有的澳洲的动物是卵生动物"。
还有更不直观的三段论。
"哲学家都是有逻辑头脑的，一个没有逻辑头脑的人总是很顽固。"
请问结论是什么？
这道题会用到新的概念：全集和空集。集合A和所有不属于它的元素（记作-A）构成全集（I），这时A和-A的交集就是一个空集（0）。
A+(-A)=IAX(-A)=0
因此，有下面的公式。
B=BXI=BX(A+-A)=BXA+BX(-A)
回到上面那道题。
哲学家X逻辑=哲学家无逻辑X顽固=无逻辑
根据第一个命题，可以得到下面的结论。
哲学家X无逻辑=(哲学家X逻辑)X无逻辑=哲学家X(逻辑X无逻辑)=哲学家X0=0
即哲学家与没有逻辑的人的交集，是一个空集。
根据第二个命题，可以得到下面的结论。
无逻辑X顽固=无逻辑X顽固X(哲学家+非哲学家)=无逻辑X顽固X哲学家+无逻辑X顽固X非哲学家=0X顽固+无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑
也就是说，最终的结论如下。
无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑//相当于顽固X非哲学家=无逻辑+其他
结论就是顽固的人与非哲学家之间有交集。通俗的表达就是：一些顽固的人，不是哲学家，或者一些不是哲学家的人，很顽固。
由此可见，集合论可以帮助我们得到直觉无法得到的结论，保证推理过程正确，比文字推导更可靠。
既然命题可以用集合论表达，那么逻辑推导无非就是一系列集合运算。
由于集合运算的结果还是集合，那么通过判断个体是否属于指定集合，就可以计算命题的真伪。
一名顾客走进宠物店，对店员说："我想要一只公猫，白色或黄色均可；或者一只母猫，除了白色，其他颜色均可；或者只要是黑猫，我也要。"
这名顾客的要求用集合论表达，就是下面的式子。
公猫X(白色+黄色)+母猫X非白色+黑猫
店员拿出一只灰色的公猫，请问是否满足要求？
布尔代数规定，个体属于某个集合用1表示，不属于就用0表示。灰色的公猫属于公猫集合，就是1，不属于白色集合，就是0。
上面的表达式变成下面这样。
1X(0+0)+0X1+0=0
因此，就得到结论，灰色的公猫不满足要求。
这就是布尔代数：计算命题真伪的数学方法。
布尔代数的运算法则与集合论很像。
交集的运算法则如下。
1X1=11X0=00X0=0
并集的运算法则如下。
1+1=11+0=10+0=0
集合论可以描述逻辑推理过程，布尔代数可以判断某个命题是否符合这个过程。人类的推理和判断，因此就变成了数学运算。
20世纪初，英国科学家香农指出，布尔代数可以用来描述电路，或者说，电路可以模拟布尔代数。于是，人类的推理和判断，就可以用电路实现了。这就是计算机的实现基础。
虽然布尔代数可以判断命题真伪，但是无法取代人类的理性思维。原因是它有一个局限。
它必须依据一个或几个已经明确知道真伪的命题，才能做出判断。比如，只有知道"所有人都会死"这个命题是真的，才能得出结论"苏格拉底会死"。
布尔代数只能保证推理过程正确，无法保证推理所依据的前提是否正确。如果前提是错的，正确的推理也会得到错误的结果。而前提的真伪要由科学实验和观察来决定，布尔代数无能为力。
（完）
mark说：
好烧脑子~
Kevin说：
鸭嘴兽X卵生x澳洲=鸭嘴兽//相当于卵生x澳洲=鸭嘴兽+其他这就没有弄明白
鸭嘴兽那个推导没看懂
vook说：
引用mark的发言：好烧脑子~
不是吧这都是基础啊离散数学
hjk0820说：
布尔代数的运算法则看得直观
yingshin说：
绕的好晕~有三段轮的笔误
zskm说：
引用Kevin的发言：鸭嘴兽X卵生x澳洲=鸭嘴兽//相当于卵生x澳洲=鸭嘴兽+其他这就没有弄明白
鸭嘴兽和卵生*澳洲的交集是鸭嘴兽，说明鸭嘴兽是卵生*澳洲的子集，也就是一部分，那么卵生*澳洲所构成的集合就包含鸭嘴兽，可能包含其他元素也可能不包含
MGhostSoft说：
最后一步SXD=S是怎么得出来的？
fyzzy说：
无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑
这里是怎么推导的呢？
safarishi说：
有的地方看得就像是绕口令一样：像："哲学家都是有逻辑头脑的，一个没有逻辑头脑的人总是很顽固。"
不过让我觉得数学真的很厉害，只可惜以前没有好好学，不开心
胡子拉碴说：
最后一段也就是说布尔代数不产生新知识
gzq说：
warrenLOL说：
推荐去Coursera上Duke大学WalterSinnott-Armstrong教授所教的ThinkAgain:HowtoReasonandArgue,非常非常好的逻辑课程，这篇博文中的内容都有所涵盖。
Jim_Chen说：
不知道是不是我记错了：
1.在我认知中，集合论的创立与布尔没有直接关系，而关系最紧密的是后来之人康托尔
2.在集合运算中并，交都有特定的符号：∪和∩，而×，＋在集合中又有其他具体含义，×代表笛卡尔积，而＋是集合的计数原理也就是容斥定理中引入的，举个栗子就是假定A与B都是有限集合，那么A+B=(A∪B)+(A∩B)
3.其实我觉得布尔运算是命题逻辑的基础，但是纯粹的命题逻辑不能解决上述的很多例子，因为部分例子涉及了谓词逻辑，必须引入两个谓词，全称和存在才能解决，这也是命题逻辑的缺陷，比如著名三段论就是纯粹用命题逻辑无法解决的问题。而我感觉博主一直只用命题逻辑的范围解决问题感觉困惑。
Don说：
编码的奥妙--->编码的奥秘
leyunu2010说：
这篇写的一般。《编码》里讲的更清楚。CharlesPetzold的那本。
linxianqing说：
讲的太好了,浅显易懂,我老师要是教的这么好就好了
Cindy_1说：
这不就是数字电路的基础？
eddie说：
哇塞，不错
lili说：
并集的运算法则如下。1+1=11+0=10+0=0
应该是1+1=2.
raven说：
引用lili的发言：并集的运算法则如下。1+1=11+0=10+0=0
这不是数学运算法则，是并集
dolomite说：
引用MGhostSoft的发言：SX(RXD)=(SXR)XD=SXD=S
我也看不懂这个，希望有大神可以给解答一下
张中华说：
K说：
前面不怎么烧脑子主要就是文字讲的有点绕然后就是哲学家那里比较烧点脑子其他的没什么
wuiwe说：
我寫一點我的簡單看法(本人化學混畢業的)(以下都沒查證，都是個人感覺)
1.那圖叫做文氏圖，不叫做集合論(理解文氏圖不代表理解集合論)2.我不覺得布爾代數是什麼創新(我認為"方便"上創新，本質上沒創新)其次(andor等等不叫做集合論，那叫做常識)文氏圖的交集等等不是根本(源頭)3.源頭是什麼(假設是二元邏輯)真值表，就是二元邏輯，然後文氏圖的根本不是交集(多數人只會照著書本想)(雅里士多德的三段論)什麼是ifathanb(很醜陋的然後就蹦出一個二元邏輯的真值表
其實是一個大圓，裡面畫一個小圓，很明顯有3個區域，代表3個True真值表4個情形，只有一個Flase，正好是代表不存在3個True代表存在，這個類比可以聯想到機率論的樣本空間。(細節我不描述了，大家都懂，樣本空間的意義很簡單，可是也能很深刻。)
我覺得這種基於空間的類比，比電路圖更適合類比布爾邏輯(但是布爾邏輯和電路圖比文氏圖好用、好運算)
量子力學底層很多常見邏輯運算與日常不同，如何給出一個簡單的類比呢很簡單，一個文氏圖，如果是邏輯的類比，那麼如果縮的足夠小，顯然我們一開始憑藉的大小範疇關係已經失去效用了，顯然微小的事物沒必要遵循我們所謂的邏輯。
(弗雷格算數什麼的，我覺得很醜的，比"三段論"這爛名字還醜)計算機用布爾代數來描述底層電路我認為確實是最好的選擇，不用浪費時間搞"哲學"
wui说：
有人可能會覺得我講這幹嘛
因為我從小就覺得什麼蘇格拉底是人，什麼人都會死，這根本沒資格稱為邏輯。(因為我們其實是靠日常經驗在空想)那些傻孩子說什麼對對對，我理解了。請問你看過死人請問你看到所有活著的人，都死了嗎
我舉的類比(以前人早就發明)，是真正的邏輯實驗(簡單的邏輯=範疇，其他邏輯系統不討論)1.b包含a直接導出ifathanb，直接等價於真值表2.If你落在a廢話一定落在b。自己拿筆戳一戳，全世界誰敢質疑這實驗
當然用電路來模擬邏輯，可以"實現"邏輯，但是任何人都會問，憑什麼邏輯會在語言、電路上起作用呢
所以說以為理解電路實現，或者什麼蘇格拉底死不死，或者舉出一堆語言上的日常類比，其實(我認為)都不算理解中學程度的邏輯，只是死背。
我覺得很多書籍扯一堆，然後有些傻孩子還是不理解(不接受)真值表，(因為他們不想死背)其實滿可愛的，話說我大學的數學教授(德國博士)也不理解真值表。(的簡單正確類比)
所以如果以德國數學博士的標準來看那些長篇大論，扯東扯西的書籍，也不能說那些作者都是犯傻。
(我以上說的理解都是指合情的接受，不是說真懂，世界上真懂得幾隻手指數得出來，但是不懂一樣可以過生活的。)
引用Jim_Chen的发言：不知道是不是我记错了：
1.你沒記錯，但是康托爾偉大是更深層的，布爾類似於把雅里士多德的三段論講得更清楚，搞一套數理邏輯的"符號規則"那樣。(我感覺)
2.我認為(不談那種哲學書扯一堆術語)直接說大部分談到三段論的書籍，亂扯的日常例子，本質上都是胡扯，都有漏洞。而哲學家很愛基於語言去探討，扯出一大套術語，然後還要研究語言怎麼用如何，什麼xx詞，全稱，.......。(目的只是要探討怎樣說話才合(他們的)邏輯，但是我們又沒有要寫哲學論文，去看一堆術語做什麼呢)
在我看來，直接把那一堆例子丟到垃圾桶，告訴小朋友們基於科學實驗，基於電路實驗，基於(我前面舉出的例子)你拿筆戳一個大小範疇，邏輯是對的。(邏輯足以描述這2個實驗)錯的是你亂套邏輯，而那些號稱很有邏輯的邏輯書(特別是哲學系、文學系寫的)，通常都是在亂套。
引用Jim_Chen的发言：不知道是不是我记错了.....
不談哲學的好處(因為我不懂)，我認為哲學的遺毒可以輕易的消除。1.只要問崇拜哲學的人，請問雅里士多德的時候哲學是物理還是數學還是語義學等等2.請問哲學家搞得出相對論、量子力學嗎他們會直接得到2個結論(當然是憑感覺)1.當一個東西不能扯的時候(足夠清晰)他就脫離了哲學，所以哲學家有一部分整天在扯。2.哲學家很少深刻的影響世界我沒有要貶低(經濟、數學、物理、政治、........)-哲學家我鄙視哲學-哲學家
Ray说：
非常感谢您的blog！解答了很多我的问题！感谢！
刀刀说：
苏格拉底SDR那个推断过程是错的，正确的应该是：已知：SXR=S(苏格拉底是人）RXD=R（人都会死）要证明：SXD=S（苏格拉底会死）过程是：SXD=(SXR)XD=SX(RXD)=SXR=S
卡卡说：
谢谢阮一峰大大！学了不少东西。
超哥哥说：
可以讲讲布尔代数的局限，以及后来的二阶逻辑。
引用超哥哥的发言：可以讲讲布尔代数的局限，以及后来的二阶逻辑。
這種東西很簡單，你懂一開始的直覺後面都顯然，只是運算符號誰優越，至於哲學上的討論那是很麻煩的。
我跟你講很多人就是被符號跟語言侷限，然後才會後面動不動卡住。就像是calculus一開始你懂這個極限語言的好處（可能要看一下數學史），然後你有直觀很好，但是後面是抽象符號更好用，直觀只是輔助，理論上來說邏輯很多都是規則套來套去，你懂最前面1頁全懂，半本書一定懂，至於後半本到了後期的研究什麼的不懂不會怎樣，數學系不懂的人也有，哲學系很懂但是只會玩玩符號的人懂了沒啥意義。
最根本的問題就一句話，邏輯為何對現實有用，這是哲學問題，數理邏輯上的討論系統自洽之類的，並不是這種哲學問題。
而很多動不動一套哲學的低階邏輯滿天飛得，我看到過一個數學家的名言，如果你的內容很貧乏，就把他用一階邏輯來寫。
像是很多人新手發問，他們只會背課本，聽說中國的中學就上什麼，逆命題、否命題、否逆命題等等。很多人跟著課本死套，跟著這種可笑的符號系統，拜託數理邏輯老早有更適合人腦的符號系統了，一堆人用一堆術語在嚇人。
我舉的例子，有些人只看到表面，事實上這麼這麼簡單的文氏圖，對這些規則來說都是成立的，什麼迪摩根定律，什麼forall,thereexist，什麼否逆命題成不成立，不用動腦，例如ifathenb成立，那麼這個邏輯圖像，if-athen-b，你戳非a跟非b外面，有沒有這個樣本空間？存在啊，而且我不是傻傻的套，我知道這個在事件跟機率上的意義，你具體的事情如何套都只是單一事件，沒有圖像讓人有側面的理解，也沒點到機率的意義，那很多哲學騙錢書整天扯淡蘇格拉底死不死就是超級笑話。
數理邏輯簡單講，一開始你接受，你有直覺類比，或者你笨笨的用語言套套套死記規則，反正你只要願意接受前面規則的有效性，半本書都可以看懂，後面半本已經是常人不需要理解的東西了，不是太無趣就是太機械，很多公理是邏輯學家搞的，正常人能把整本書的定理都證明完畢就謝天謝地，管底層的公理是好高騖遠。
mcfly555说：
@wui：
哲学家把简单的事实搞的特别复杂，物理世界的特性被人利用。不过数学化的理论发明先于物理世界的发现罢了。当物理世界有了发现，人总是是要上升到理论层面，为了便于人类控制。如果非要说哲学，我倒是凭借有限的经验觉得思维和存在是有同一性的，但是思维的局限在于仅仅是抽象，抽象出各种关系，即所谓的规律，对感知真实没有丝毫作用，换句话说思维只能模拟关系，是模拟而非真实。哲学在这里就显得很无聊，闲的蛋疼。维特根斯坦确实是过去那种弯弯绕绕的哲学的终结，海德格尔存在主义也更加真实有意义。粗人一个，哲学家说的再多也抵不上直接干，就是干。
mzxc说：
人都会死X死=人
hashkey说：
引用fyzzy的发言：无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑
无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑X顽固X(I-哲学家)=无逻辑X顽固-无逻辑X哲学家X顽固=无逻辑X顽固-0=无逻辑X顽固=无逻辑
引用dolomite的发言：我也看不懂这个，希望有大神可以给解答一下
楼上刀刀的正解SXD=(SXR)XD=SX(RXD)=SXR=S
简单说：
引用dolomite的发言：
苏格拉底的人x人类x会死的东西SXRXD
其实不用交换，最底层的交集永远都是S，只是作者上面的例子S跟R更有关系，所有将S与R括在一起。
雁南飞说：
这个可以去看李永乐老师讲的数字电路与模拟电路那课，讲的非常清晰！！！！
dawningblue说：
逻辑能保证程序正义，而不能保证结果正义如同科学思维能够保证过程是正确的，而不能保证结论是正确的
牛继陆说：
读了几遍。真好。
lee20说：
数学家布尔的后代与中国还有很多因缘呢
大二学生说：
为什么说“布尔发明的工具，叫集合论”，我查阅到的资料里，德国数学家康托尔（GeorgCantor）是集合论的创立者。
天冬说：
这里通过多个限制性定语来定义“鸭嘴兽”这一概念，但这种限定可能是必要不充分的，逻辑上同时满足“卵生”“澳洲动物”“哺乳动物”的未必只有鸭嘴兽。“鸭嘴兽X卵生x澳洲=鸭嘴兽”的意思就是“鸭嘴兽”存在于“卵生x澳洲”的集合中（因为“鸭嘴兽”与它的交集不是空集，而且就是“鸭嘴兽”自身）表述了“存在性”；“卵生x澳洲=鸭嘴兽+其他”也是一样的意思，只是“存在性”定义，而不是“唯一性”定义。