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2019.01.16
希尔伯特旅馆悖论（Hilbert'sparadoxofGrandHotel）
希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人，旅馆老板说：“虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。我让1号房间的客人搬到2号房间，2号房间搬到3号房间n号房间搬到n+1号房间，你就可以住进1号房间了。”又一天，来了无限个客人，老板又说：“不用担心，大家仍然都能住进来。我让1号房间的客人搬到2号房间，2号搬到4号，3号搬到6号n号搬到2n号，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧。”
托里拆利小号（Torricelli‘sHorn）
意大利数学家托里拆利（EvangelistaTorricelli）将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形（注意，上图只显示了这个图形的一部分）。然后他算出了这个小号的一个十分牛B的性质——它的表面积无穷大，可它的体积却是π。这明显有悖于人的直觉：体积有限的物体，表面积却可以是无限的！换句话说，填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍，却需要无限多的油漆！
此形状又被称为加百利号角（Gabriel'sHorn），因为根据宗教传说，天使长加百利吹号角以宣布审判日（JudgmentDay）的到来。
类似的二维几何悖论中，最著名的要属“科赫雪花”（KochSnowflake）了。科赫雪花是一种经过无穷多次迭代生成的分形图形，下图就是前三次迭代的过程，迭代过程的极限便是科赫雪花了。它也有一个类似的性质：它的面积有限，周长却是无限的。用无限的周长包围了一块有限的面积，真是另类的“无中生有”啊！
芝诺悖论（Zeno'sparadoxes）
芝诺悖论是由古希腊哲学家芝诺（Zeno）提出的一组悖论。其中的几个悖论还可以在亚里士多德（Aristotle）的《物理学》（Physics）一书中找到。最有名的是以下两个。
阿基里斯与乌龟的悖论（AchillesandthetortoiseParadox）：在跑步比赛中，如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的希腊勇士阿基里斯，那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。因为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置；而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。如此下去，阿基里斯永远追不上乌龟。
二分法悖论（DichotomyParadox）：运动是不可能的。你要到达终点，必须首先到达全程的1/2处；而要到达1/2处，必须要先到1/4处每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。其实，你根本连动都动不了，运动是不可能的。
当古希腊哲学家第欧根尼（Diogenes）听到芝诺的“运动是不可能的”这个命题时，他开始四处走动，以证明芝诺的荒谬，可他并没有指出命题的证明错在哪里。
尽管我们可以用数学方法算出阿基里斯在哪里以及什么时候追上乌龟，但一些哲学家认为，这些证明依然没有解决悖论提出的问题。出人意料的是，芝诺悖论在作家之中非常受欢迎，列夫·托尔斯泰在《战争与和平》中就谈到了阿基里斯和乌龟的故事，路易斯·卡罗尔（LewisCarroll）写了一篇阿基里斯和乌龟之间的对话，阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯（JorgeLuisBorges）也多次在他的作品中谈到阿基里斯悖论。
球与花瓶（BallsandVaseProblem）
我们有无限个球和一个花瓶，现在我们要对它们进行一系列操作。每次操作都是一样的：往花瓶里放10个球，然后取出1个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？
看似简单的描述，经过数学家的解释，却出现了千奇百怪的答案。最直观的答案当然就是花瓶里有无限个球了，因为每次都增加了9个球，无限次之后，当然有无限个球。
数学家Allis和Koetsier却不这么认为。他们认为，12点时瓶子里没有球，因为我们第1次放进1至10号球，然后取出1号球，第2次放入11至20号球，然后取出2号球……注意到，n号球总是在第n次操作时被取出来了，因此无限操作下去，每个球都会被取出来！细心的读者会发现，这个说法也有问题：前面的证明假设我们取出的依次是1号球、2号球、3号球等等，如果我们改成依次取10号球、20号球、30号球，那么最后瓶子里又出现了无限个球了。
哪种观点是正确的呢？逻辑学家詹姆斯·亨勒（JamesM.Henle）和托马斯·泰马祖科（ThomasTymoczko）认为，花瓶里有任意个球。他们还给出了具体的构造方法，说明最终花瓶里的球可以是任意数目。
1953年，这个悖论由英国数学家利特尔伍德（JohnEdensorLittlewood）在他的书《一个数学家的集锦》（AMathematician‘smiscellany）中首先提出，1976年谢尔登·罗斯（SheldonRoss）在他的《概率论第一课》（AFirstCourseinProbability）又一次介绍了这个问题，所以它又被称为“罗斯·利特尔伍德悖论”（Ross-LittlewoodParadox）。
无限长的杆（InfiniteRod）
有一张无限大的桌子，上面竖直地插着一根有限长的支柱。然后取一根无穷长的金属杆，把它的一头铰接在支柱顶端，另一头则伸向无穷远处。金属杆可以绕着支柱顶端自由地上下转动。假设金属杆和桌子都是无比坚硬的刚体。你会发现，这根无限长的金属杆根本不会往下转动！因为金属杆和桌子都很坚硬，如果它们相交，必然会损坏一个，所以唯一的办法就是金属杆与桌面平行。那么我们看到的现象就是一根无限长的金属杆，在空中仅仅靠一个点就保持水平！
这个有趣的问题是由数学家雷蒙德·斯穆里安（RaymondSmullyan）在一本庆祝马丁·加德纳90岁生日的书中介绍的。另外，如果我们把铰接的点移到金属杆的中部，那么金属杆就动弹不得，稳稳地和桌面平行了！