内容提要：本文通过建立理论模型，系统地研究分析了公共基础设施资本对长期经济增长的动力机制，从而揭示了公共投资政策与经济增长的关系。第一个模型是包含外生公共基础设施资本的动态经济增长模型。该模型将自然资源分为直接生产性和基础设施性两类，所得到的结果是，无论是纯公共性还是拥挤性的外生公共基础设施资本，都能够提高长期经济增长率。第二个模型是包含由公共投资形成的内生公共基础设施资本的动态经济增长模型。此模型假定公共基础设施资本由政府通过征税进行的公共投资形成，得到的结果是，如果基础投资本本为纯公共性质，就能产生恒定的内生增长；如果基础设施资本为拥挤性质，则虽然不能产生恒定的内生增长，但也能减缓增长率的递减，从而提高长期经济增长率。模型的结论表明，分析研究公共投资政策的重点不应当是政策的短期逆周期调节效果，而应当是其推进长期经济增长的动力作用。本文的理论模型所得到的结论，不仅能够解释经济增长的典型化事实，而且可以为研究我国公共投资政策、积极财政政策、城市化战略、支持不发达地区发展以及环境保护等重大政策提供理论依据和分析方法。
一、引言
在建立本文的增长模型并进行分析之前，有必要对本文的基本理论框架和经济模式作基本的假定和阐述：
第二，经济具有中长期特征。在中长期中，资本和劳动可以相互替代；信息完全对称，家庭和企业均理性预期，等同于完全预测；市场竞争完备，始终保持出清；宏观经济通过竞争性市场保持均衡，总供给等于总需求。这一条件强调市场机制为基础机制的特征。
第三，经济中存在生产性公共基础设施，如公路、桥梁、河道、水利、电力等。基础设施的生产既可以由外生投资形成，也可以由内生的公共投资形成。基础设施是一般拥挤性的基础设施，其使用具有非排他性和一定程度非竞争性。
第四，本文的模型均采取拉姆奇(Ramsey,1928)包含消费者模型的基本理论框架。这是考虑到拉姆奇模型在经济增长理论中的运用已象柯布-道格拉斯生产函数一样普遍，而且此框架还可以将社会福利最大化目标、宏观经济的微观基础统一在模型之中，这对于本文将研究分析的重点放在公共基础设施对经济增长的作用机制上是十分有利的。
二、包含外生投资形成的基础设施资本存量的动态增长模型
首先设经济中的基础设施由外生投资所形成，是一种不需要消耗产出获得的资本。这种情况下，基础设施可以是一种自然资源，如天然的河道、道路、饮用水资源等等，也可以是一种由捐助、转移支付形成的基础设施资本存量。这些类型的自然资源与通常所说的直接形成物质产品的自然资源，如矿产资源、土地等在生产中的作用是不同的，后者直接形成了生产资本的积累，而基础设施性质的自然资源只是为生产资本的积累提供一种服务，或者说是随着生产资本的积累而获得的一种附加投入。这种条件下，模型由家庭问题、企业问题和宏观经济均衡问题联立构成。
（一）家庭部门
(1)
受制于家庭预算约束:
(2)
边界条件:
(3)
和排除“连环信”债务融资的条件:
(4)
（二）企业部门
典型的竞争性企业投入资本和劳动力进行生产。企业在生产过程中由于使用资本而获得基础设施资本的服务，如使用车辆获得道路的服务，使用船只获得河流的服务等。经济中为私人资本提供服务的基础设施资本存量为实际投入使用的基础设施资本存量，未投入使用的基础设施不计算在内，包括未开发利用的自然资源（如河流、湖泊等）、建设中或已建成未投入使用的基础设施，如港口、道路等。
设企业的生产函数为柯布—道格拉斯生产函数，并在生产函数中引入基础设施资本存量为企业生产的永久性的投入，形成基础设施资本的投资是外生于模型的。于是将企业的生产函数表述为：
（5）
其中，为企业的产出,为企业投入的资本,为企业投入的劳动力,为经济中实际使用的基础设施资本存量,为经济中所有企业投入的资本总量,是由于企业使用基础设施获得的一种永久性投入，企业将其作为外生变量。就每个企业来看，即为企业实际能够获得的基础设施服务流量，表示基础设施的拥挤程度。假定在长期中，每个企业具有相同的生产资本密度，即，则（5）式可以变为:
(6)
其中,为企业的人均产出,也即经济的人均产出,为企业的人均资本，即经济的人均资本。从(6)式可以看出基础设施的拥挤性对企业从基础设施中获得的服务的影响：当投入使用的基础设施资本存量一定时，随着人均资本的增加，总资本存量K也将增加，将下降，基础设施对企业产出的贡献将降低；在人均资本一定，即社会总资本K一定的情况下，投入使用的基础设施资本存量越大，企业获得的基础设施资本服务越大。一般情况下，设，表示经济中存在具有一定拥挤程度的基础设施。当经济中实际基础设施资本存量充分大，使得时，企业使用基础设施时最多能够获得与企业所投资本互补相当的基础设施资本服务，即，就是说，的最大值只能取1，当时，经济中将存在闲置的基础设施资源。当时，基础设施资本提供的服务恰好与人均资本完全互补，这时（6）式变成了,成为与模型相似的形式（但不是内生增长），这种状态的基础设施资本是纯公共品。
企业面临的问题，是在给定工资率和租金率的情况下，按照（5）或(6)的生产函数生产产品,并使利润最大化，即:
(7)
其中，为企业生产资本的折旧率。仍然假定企业的资本密度相等，即，根据利润最大化及零利润条件，可以得到劳动的边际产品为：
（8）
企业生产资本的边际产品为:
(9)
即：
(10)
(10)式表明,经济中企业生产资本的边际报酬受到基础设施拥挤程度的影响，分为以下三种情况：
1．当时，资本边际报酬的递减完全取决于人均资本的积累速度，基础设施没有提供服务，或者说没有自然基础设施资源；
2．当时，基础设施为拥挤品，经济中存在一定程度可利用的自然基础设施资源，这时企业生产资本的边际报酬仍将随着人均资本的积累而递减，但使用基础设施将减缓人均资本边际报酬的递减速度；
3．当时，取，经济中存在充足的基础设施资源，基础设施具备纯公共品性质。这时，从模型中可以看出私人企业获得的基础设施资本投入与社会总生产资本存量相当，即,这时有：
（11）
（11）式表明私人的资本边际报酬不随其人均资本的积累而变化，类似获得了一个外生的技术进步贡献。这时增加劳动L就能增加生产资本的边际报酬。
(三)宏观经济均衡
从宏观上看，企业和家庭都面临着给定的利率和工资率,在均衡时,所有的需求等于供给,典型家庭的最终债务为零,全部国内的资本存量由国内居民所拥有,人均资产和人均资本相等,即，结合企业利润最大化和零利润条件(8)式和(9)式，可知宏观经济的目标函数与典型家庭的目标函数相一致，宏观经济均衡问题即是求解以下约束条件的最大化问题:
经济资源约束：
（12）
边界条件：
(13)
排除连环信条件:
(14)
以上最大化问题中,为平均利率，满足：
(15)
为了分析基础设施对增长率的影响，可以求解这个最大化问题，为此，建立汉密尔顿方程：
（16）
由一阶条件:
(17)
可得:
(18)
由欧拉方程:
(19)
(20)
横截性条件为:
(21)
利用一阶条件(18)、欧拉方程（19）和约束方程(12)可以得到关于和的常微分方程(ODE)系统，再运用边界条件(13)和横截性条件(21)，即可得出分散经济条件下的最优资本积累路径和最优消费路径。
我们仍然将重点放在分析增长率的性质上。由(18)式可得：
(22)
代入(20)式得到人均消费增长率的表达式:
(23)
(23)式表明,均衡时的人均消费增长率与基础设施状况有密切关系，由于经济中的基础设施资本拥挤性程度不同，对宏观经济均衡状态的长期经济增长率的影响有以下二种情况:
1、基础设施具有一般拥挤性。宏观经济中存在拥挤程度不同的基础设施是普遍的情况。当时，表示经济中存在拥挤程度不同的基础设施。这种状况下，长期增长率虽然会随着人均资本的积累而下降，但是会因为基础设施拥挤度的不同而被不同程度地延缓。当时，增长率随人均资本的积累而单调下降，基础设施对产出没有额外的贡献，但却维持了人均资本积累过程的产出增加；当时，基础设施对人均产出有一定程度额外贡献，这种贡献会减缓因人均资本积累而导致的增长率下降。愈接近于1，这种贡献愈大，增长率下降的也愈慢。可以看出，长期经济增长率随人均资本积累而递减的速度减缓，实际上起到了提高长期经济增长率的作用，即基础设施资本存量对长期经济增长率有正的作用，模型的这个结论的经济意义是十分重要的。当时，即，基础设施资本趋近于纯公共品，这时，趋近于保持不变，能够实现长期不变的人均增长率。
2、基础设施充足。当基础设施资本存量足够大时，会出现的状况，这时的经济为基础设施充足的经济。这种状况下，基础设施变为纯公共品，每个企业都可以无成本地获得与其使用的资本相当的基础设施资本服务。由纯公共品的性质可以知道，当时，我们不能再将多余的基础设施纳入企业的生产函数，因为每个企业都是由于使用基础设施而获得服务，因此所获得的投入不会超过与其资本积累相当的量，所以，当时，即，（23）式正式演变为：
（24）
这表明，基础设施充足的经济可以获得恒定的人均增长率。但是由于模型中形成基础设施资本存量的投资是外生的，基础设施是一种自然资源，或是由外部的赠与所形成，因此，这种恒定的人均增长率并不能由模型的内生变量所决定，而是与外生技术进步率性质相同的因素。这个结果可以解释早期文明发达国家或地区，之所以发展得快，重要的原因是多有充足的基础设施资源（如沿海、沿河、道路通畅的平原地带等）。此结论也可以作为解释卡尔多（Kaldor,1961）提出的各国实际人均GDP增长率存在很大差异的一个理论依据。我们还注意到，在总的基础设施资本存量为既定的情况下，或者说自然状况的基础设施资源有限的情况下，随着人均资本的不断积累，即的不断增加，终将减少到，基础设施从充足演变到拥挤，因此，对自然资源的科学规划、保护和利用，对保持经济的长期增长是十分重要的。
(四)稳定状态
进一步分析宏观经济均衡时人均消费增长率、人均资本增长率和人均产出增长率的性质。模型所得出的结论是增长率与基础设施资本的拥挤程度有密切关系。由于生产函数在基础设施为纯公共品和拥挤品时的形式不同，我们将分两种情况来分析经济的稳定状态。
1、基础设施为纯公共品。
当基础设施为纯公共品时，即成立时，经济资源约束方程（12）式为:
(25)
人均消费增长率仍由(24)式给出,横截性条件为:
(26)
可以证明,在生产资本的边际生产率趋近于一个常数，生产函数足以保证人均消费的增长，而且又不会导致效用无界的条件下，如果能够不断投入使用的基础设施资本可以保证其使用不产生拥挤，则经济能够产生人均产出增长率、人均资本存量增长率和人均消费增长率为一个共同的正常数的稳定状态，即：
(27)
证明见附录1。
根据（24）式可得:均衡时。显然，
这时不存在动态转移过程。模型中生产性资本存量的边际生产率所趋于的常数与模型的常数之间差了一个系数，这是由于企业并未将基础设施资本存量提供的外溢服务内部化。
2、基础设施为拥挤品。
当基础设施存量为拥挤品时，即考虑基础设施资本的拥挤性时，，经济的资源约束方程仍采取（25）式,人均消费增长率由(23)式给出,横截性条件为:
(28)
可以证明，当人均资本增长率、人均消费增长率和人均产出增长率相等且为零时，宏观经济处于稳定状态。如果、和分别为宏观经济稳定状态的人均资本存量、人均消费和人均产出的增长率；、、分别为稳定状态的人均资本、人均消费和人均产出，则宏观经济的稳定状态条件可以表示为，当时，经济达到稳定状态（，）。
证明见附录2。
这说明，经济中存在外生投资形成的拥挤性基础设施资本存量时，人均变量、和在稳态中是不变的，水平变量、和在稳态中以的速度增长。但是，正如我们在前面所分析的，增长率却受到了基础设施资本存量不同程度的拥挤性产生的不同的影响，我们还可以在转移动态中看出这种影响。
经济处于稳态时，（25）式、(23)式分别为：
(29)
(30)
从附录2的证明可见,存在一个值,使人均消费达到最大值.令这个值为,则满足:
(31)
这时的利率等于产出的增长率,对应着人均资本的黄金律水平。（29）式表明，稳定状态的利率等于贴现率。
3、基础设施资本拥挤性对稳定状态的影响
c
c(k)
c*
c‘(0)
c(0)
c"(0)
0Ak
图1存在拥挤性基础设施的资本存量的增长模型相位图
我们构造一个由、构成的二维空间平面图（图1）,则(29)式构成了的轨迹，是一条凹向横轴的曲线，这是因为该曲线与横轴有两个交点，一个为，另一个满足；从大于0演变为小于零。（30）式构成了的轨迹，是一条垂直于横轴的直线。
当经济中的基础设施资本拥挤程度满足时，图1所表示的模型的转移动态与拉姆奇模型的转移动态类似，和的轨迹将空间分为4个区域，直角相交的箭头表明每个区域的运动方向。模型呈现的是鞍点路径稳定性。稳定臂是一条经过原点和稳态的正向斜率曲线。这条曲线从一个低水平的出发，最优的初始值很低，沿着稳定臂向稳态值上升（为作图方便，图1的稳定臂是一条直线,实际情况未必是直线）。
c值增加
k
图２基础设施拥挤程度对稳定状态的影响相位图
图2给出了稳定状态受基础设施拥挤性影响的情况,、和分别对应了值由小到大的情况，可以看出，随着值的增加，的垂直线向右移，曲线的半径也加大，变得更加扁平。这是因为（23）式中的人均增长率受到基础设施拥挤程度的影响，当拥挤程度高时，对应较低的值，稳定的人均资本、人均消费也较小；当拥挤程度低时，对应较高的值稳定的人均资本、人均消费也较大。从图3可以看出，当值接近为1时，的曲线变得非常扁平，对应相当大的值，稳定臂也接近于一条更加平直的曲线。作为极限情况，当时，从（23）式可知人均增长率为一个常数，这时的曲线的曲率趋于零，将会成为一条平行于轴的直线。
值很小
图3拥挤度很小和拥挤度很大时的相位图
从以上分析可知，基础设施资本存量因拥挤程度不同而对人均增长率和稳态的人均资本、人均消费水平产生影响，拥挤程度低的基础设施资本存量可以提高人均增长率，可以提高稳定状态的人均资本和人均消费水平。显然，人均产出的增长率和稳态的人均产出水平也因使用拥挤程度低的基础设施资本存量而提高，这也是模型的经济意义。
三、包含内生投资形成的基础设施资本存量的动态增长模型
下面将投资内生化，经济中的基础设施资本存量由政府部门通过对产出一次性总税赋进行融资建设，并且无偿地提供给私人企业使用。
由于本文将公共基础设施资本设定为生产性的基础设施，通过对资本的服务产生对企业生产的永久性投入效果，因此，这里的家庭问题与外生投资的家庭问题形式上相同。典型的家庭问题仍然是在家庭的预算约束下最大化由人均消费产生的效用的贴现流量，并由此确定家庭的消费路径和资本积累的路径。
(二)企业部门
典型的企业投入资本和劳动力进行生产。基础设施资本由政府提供，企业可以无偿使用，但是企业要按照总收入的一定比例缴纳税收，税率为。政府通过收税为基础设施融资，因此，形成基础设施资本存量的投资内生于模型。为便于分析，假定在任何时点，基础设施投资都立即形成资本存量。设企业的生产函数为柯布—道格拉斯形式，其税前收入的生产函数可表示为：
（32）
（33）
其中为企业的人均产出，等于整个经济的人均产出；为人均资本，等于整个经济的人均资本。
企业面临的问题是在给定的价格序列下，按照（32）或(33)式生产产品,并使税后利润最大化,即:
(34)
其中为企业的折旧率，为租金率。根据利润最大化条件和零利润条件，可以得到劳动的边际产出（工资率）满足：
(35)
资本的边际产出(租金率与折旧率之和)满足:
即:
(36)
由于由内生的公共投资形成，而且我们已经设投资立即形成资本存量，因此有：
（37）
将总量生产函数代入（37）式可知：
(38)
将(38)式代入(36)式可得:
(39)
从(39)式可以看出，当基础设施为拥挤品时，即时，人均资本的指数项为负数，即：
(40)
这表明使用拥挤性的基础设施并未阻止资本的边际产品随着人均生产资本的积累而递减的趋势。但是，由于：
(41)
所以，通过使用基础设施资本，使得私人资本的边际产品递减变得比较平缓。
当基础设施为纯公共品时，即时，可得：
，(42)
这时（39）式变为：
（43）
这表明资本的税后边际产品不随着人均资本的积累而递减，且随着总的劳动力的增加而递增，实现了内生增长。
(三)分权经济条件下的宏观经济均衡
分权情况下的宏观经济均衡是求解与（1）式相同的目标函数下的最大化问题。
经济资源约束为：
(44)
排除连环信的条件前面模型相同。
通过求解上述最大化问题，可得人均消费的增长率:
(45)
将（38）式代入（45）式，可得：
(46)
从（46）式可见，在分权经济中，人均消费的增长率将因为基础设施资本的拥挤程度值的不同，而随人均资本的积累产生不同的变化。
注意到（46）式中括号中的第一项与外生投资形成的基础设施增长模型中人均消费增长率（23）式的比较，多了一项乘积因子，这一项并不会改变增长率随资本积累而变化的曲线形状，仅会对曲线产生平移作用，表示在其他条件不变的情况下，由税收导致的企业收入减少。
再来观察（46）式第一项中括号中人均资本的指数项对人均
消费增长率的影响：
1、。这是我们在前面已经分析过的基础设施资本严重短缺的情况。
这时。表明人均消费增长率随着人均资本的积累，以比
经济中没有基础设施时更大的斜率递减。
2、。表示，即，经济中没有可利用的基础设施资本。这时，
，人均消费增长率与人均资本积累的关系与一般的拉姆奇
模型相同。
3、。即，表示经济中存在不同程度的拥挤性基础设施，私
人企业的生产通过使用这种拥挤性基础设施而得到一定的永久性投入。这时
，表示私人企业使用拥挤性基础设施资本存量获得的永久性
投入，虽然没有阻止人均消费增长率随着人均资本的积累而递减，但是却减缓了这种递减。
4、。即。表示经济中存在纯公共品性质的基础设施。私人企业
的生产通过使用这种纯公共品性质的基础设施所得到的永久性投入，导致了
，这时人均消费增长率的表达式（46）变为：
(47)
即人均消费增长率不随人均资本的积累而递减，并且随着总的劳动力的增加而递增。
从以上的分析可以得出结论，当公共投资只能够提供拥挤性的基础设施时，不能够产生内生增长，但能够减缓增长率随资本积累而递减的趋势，减缓的作用随拥挤程度的降低而提高，这种效应在一定程度上提高了长期经济增长率。当公共投资提供了纯公共性基础设施时，能够产生内生增长，阻止长期经济增长率的递减，而且长期经济增长率因劳动力的增加而增加，这表明只要公共投资能够提供充裕的公共基础设施，劳动力的增长就能够直接提高经济增长率，这个结论对于人口众多的国家提高长期经济增长率具有特别重要的意义，也是本文模型的重要经济意义。
利用模型进一步分析税率对人均消费增长率的影响。先分析基础设施为纯公共品的情况，将（73）式对求偏导数可得：
(48)
令
可得：
（49）
（49）式给出了基础设施为纯公共品时，使人均消费增长率最大的一次总税赋税率。税率与人均消费增长率的关系如图4所示，当较低时，资本的边际产品随的增加而快速增加，因而也随之提高。随着的上升，扭曲性税收的负面作用增大，资本的边际产品随增加的速度变慢，的增速也变缓，并逐步达到峰值后下降，这个结果与巴罗（Barro,1992）所得的结果类似。
基础设施为拥挤性公共品
基础设施为纯公共品
图4增长率随税率变化图
再分析基础设施为拥挤品时，税率对人均消费增长率的影响。将（46）式的其余变量固定，对求偏导数，可得：
(50)
令，可得：
（51）
（48）式给出了基础设施为拥挤品时，使人均消费的增长率达到最大的税率。税率与人均消费增长率的关系仍可以从图4看出，与存在与纯公共品基础设施情况下类似的图形，所不同的是使取得最大值的值，在拥挤性基础设施的情况下人均项的增长率的最大值要小于纯公共品状况下的人均项增长率的最大值，这时最优税率的值也相应降低，即，原因是。值的减小对存在两方面影响，一方面是项，使增大；另一
方面是项，使减小。
以上分析揭示了用于公共投资的最优税率与基础设施拥挤度和劳动的产出弹性之间存在的数量关系，也是本文模型的重要经济意义。
（四）政府经济条件下的宏观经济均衡
假定政府致力于使社会福利的最大化，即最大化（1）式所确定的人均消费产生的效用的贴现流量。同时，政府从社会总产出中征收一次总税赋用于基础设施投资，政府保持预算平衡，不进行负债融资。政府追求（1）式所确定的社会最大化目标，将受制于政府预算约束：
(52)
(53)
（52）式反映了基础设施资本和生产资本的动态积累方程，（53）式反映了基础设施资本的动态积累方程。由于假定了政府的公共投资立即形成基础设施资本存量，而且全部投入使用，因此有：，，代入（51）式有，则约束方程（52）变为：
(54)
由（54）式和目标函数可以求解社会计划者得到的均衡时的增长率。
设总量生产函数具有柯布—道格拉斯形式，将（54）式写成人均变量的形式：
(55)
考虑到政府将公共投资形成的基础设施资本存量对企业生产的外溢作用内部化的情况可以求出政府得到的人均消费增长率：
(56)
从（56）式可以看出，社会计划者或者说政府得到的人均消费增长率有两个方面的特点，第一是受到基础设施拥挤程度的影响。当基础设施资本为纯公共品，即时，政府得到的为：
(57)
当基础设施资本为拥挤品时，即时，由于（56）式中的，因此仍然要随着k的积累而递减，但，
因此递减的速度比未使用基础设施时缓慢。可见，在政府经济的状况下，基础设施资本也起到了提高长期经济增长率的作用。
第二是优于分权经济的。当基础设施为纯公共品时，（57）式与（47）式比较，少了乘积因子，由于，因此优于，这是政府将基础设施资本的外溢作用内部化的结果，当基础设施资本为拥挤品时，的表达式（56）式中有一个乘积因子，
的表达式（47）式中有一个乘积因子，由于，，因此，，表明仍然优于，这仍然是政府将基
础设施资本的外溢作用内部化的结果。
从上面的分析可以看出，在基础设施拥挤程度一定时，政府只要按合适的税率征收一次总付税，用于基础设施投资并将形成的基础设施资本存量提供给企业使用，就能够从一个分权均衡的框架中获得最优的增长率。这个合适的税率即最优税率，当基础设施资本为纯公共品时，；当基础设施资本拥挤公共品时，，这个结论是本节模型的公共投资政策意义。
(五)稳定状态
进一步分析宏观经济均衡时人均消费增长率，人均资本增长率和人均产出增长率的关系。区别经济中的基础设施资本为纯公共品和拥挤性公共品的情况进行分析。
1、基础设施资本为纯公共品
当基础设施资本为纯公共品时，分权经济的均衡增长率与政府经济的均衡增长率是不同的，在分权经济情况下，资源约束方程为：
(58)
人均消费增长率由（47）式给出，横截性条件由（45）式给出，根据前面的分析可知，当：
成立时，则在分权经济的宏观经济均衡状态下，有：
(59)
即以相同的常数增长率稳定增长。显然，这种情况下不存在动态转移过程。
在政府经济的情况下，资源约束方程、人均消费增长率分别由（55）式、（57）式给出，同时考虑横截性条件，在满足：
时，以相同的常数增长率稳定增长，即：
(政府)=(政府)=(政府)
=(60)
政府经济的稳态增长率也优于分权经济的稳态增长率，并且不存在动态转移过程。由此可见，政府按合适的比例从总产出中征收一次总付税收用于投资建设纯公共品性质的基础设施，可以实现长期经济增长率不随生产资本的积累而衰减，保持经济的长期稳定增长。
2、基础设施为拥挤性公共品
当基础设施资本为拥挤性公共品时，在分权经济下，资源约束由（44）式给出，人均消费增长率由（46）式给出，同时考虑横截性条件，如前面已证明的，当的增长率相等且为零时，经济达到稳定状态，即当且仅当===0时，经济达到稳态，这种情况下存在动态转移过程，这个过程仍然可以通过构造一个由构成的二维定向平面相位图来表示，与图1类似。
基础设施拥挤程度对动态转移过程的影响，与图2和图3所示的情况类似。在范围内，值越大，曲线越扁平，对应更大的值，稳定臂的曲线也更加平直。
在政府经济均衡下，资源约束由（55）式给出，人均消费增长率由（56）式给出，横截性条件与前面相同。稳态的条件仍然是===0，但由于，因此在其他条件不变时，政府经济的稳态值大于分
权经济的稳态值。
四、基本结论
本文的理论模型从不同角度导出了公共基础设施资本对长期经济增长的正效应，从而导出公共投资政策对长期经济增长的动力机制。当公共基础设施由外生投资形成时，充足的公共基础设施资本可以推动经济的恒定增长，有一定拥挤性的公共基础设施资本亦能一定提高长期经济增长率；外生基础设施资本终究会随着生产资本的积累和人口的增加形成拥挤和加大拥挤程度，从而降低对长期经济增长率的推动作用。当公共基础设施资本由内生投资形成时，基础设施资本状况对长期经济增长的作用机制和效果与外生资本相似，但不同状况的基础设施资本对应着不同的最优税率，即对应着不同的最优公共投资政策。对应获得纯公共性基础设施的最优税率，为劳动的产出弹性；对应获得拥挤性基础设施的最优税率，为劳动的产出弹性与拥挤性系数之积。本文模型还表明政府干预经济（仅指征税用于公共投资）所获得的经济增长率优于分权经济的最优增长率。
附录1：
由正文中的(11)式可知，资本的边际生产率等于常数，并且根据假设，必定有：
(1-1)
正文中的资本积累方程（25）还可写成:
(1-2)
由横截性条件可知：
(1-3)
当均衡时，、、的增长率趋近于常数，可令，即为稳
定状态的资本增长率，并且，表示始终保持正的资本增长率。由此，
横截性条件进一步演变为：
（1-4）
可以证明。
由（1-2）式可得:
(1-5)
若,则，代入（1-5）式得到：与
矛盾。
若,则，由（1-5）式得到：，与矛盾，因
此，有：
同样可以证明，。
附录2：
在稳定状态中，正文中的资本积累方程（25）式可以写成:
(2-1)
(2-2)
根据横截性条件(28)式，大括号中表达式大于0，因此,与同号。
如果，则时，。则由（23）式得出，结论与、同号矛盾；
如果，则时，。则由（23）式得出，也与、同号结论不符。
因此，可得结论：且，即。由于与同号，所以又有，同时意味着在稳定状态时，人均产出增长率也为零，即。
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