除必然事件与不可能事件外，任一随机事件在一次实验
中都有发生的可能性，人们常常通过实际观察来确定某
个事件发生的可能性的大小。例如遇到某种天气，人们
常会说“今天十之八九要下雨”，这个“十之八九”就
是表示“今天下雨”这一事件发生的可能性的大小。这
是人们通过大量实践所得出得一种统计规律，即已经历
过次这种天气，下雨的天数在这几天中所占比例大约
是到。一般地，人们希望用一个适当的数字来表示
事件在一次实验中发生的可能性的大小。这是就下雨所
讨论的随机事件发生的频率与概率。
频率
3
.
定义1.1设在相同的条件下，进行了次实验。若随机事件在这次实验中发生了次，则比值称为事件发生的频率，记为。频率具有如下性质：b5E2RGbCAP
1.对任一事件,有；
对必然事件,有
2.
若事件互不相容，则
3.
一般地,若事件两两互不相容,则
事件发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生的越频繁，即A在一次实验中发生的可能性越大。但是，频率具有随机波动性，即使同样进行了次实验，却会不同。但这种波动不是杂乱无章，在第五章的大数定律中，我们将看到若增加实验次数，则随机波动性将会减小。随着逐渐增大，逐渐稳定于某个常数。这样常数P(A>客观上反映了事件A发生的可能性的大小。p1EanqFDPw
历史上著名的统计学家浦丰和皮尔逊曾进行过大量值硬币的实验，所的结果如下：
实验者掷硬币次数出现正面的
次数出现正面的频率
浦丰皮尔逊皮尔逊4040
12000
24000
2048
6019
12018
0.5069
0.5016
0.5005
可见出现正面的频率总在0.5附近波动。随着实验次数的增加，它逐渐稳定于0.5。这个0.5就能反映正面出现的可能性的大小。DXDiTa9E3d
每个事件都由这样一个常数与之对应。这就是说频率具有稳定性。因而可将事件A的频率在无限增大时所逐渐趋向稳定的那个常数P(A>定义为事件A发生的概率。这就是概率的统计定义。RTCrpUDGiT
1.2.2概率的统计定义
定义1.2设随机事件A在次重复实验汇总发生的次数为，若当
实验次数很大时,频率稳定地在某一数值的附近摆动,且随着实验次数的增加,其摆动的幅度越来越小,则称数为随机事件A的概率,记为。5PCzVD7HxA
由定义,显然有
0≤P(A>≤1，P(Ω>=1，P(φ>=0。
概率的统计定义本身存在着很大的缺陷,既定义中的“稳定地在某一数值p的附近摆动”含义不清,如何理解”摆动的幅度”？或多或少地带有人为地主观性。jLBHrnAILg
频率概率的意义在于<1）它提供了估计概率的方法；<2）它提供了一种检验理论正确
与否的准则。
1.2.3概率的公理化定义
定义1.3设随机实验的样本空间为。若按照某种方法,对的每一事件A赋于一个实数P(A>,且满足以下公理：xHAQX74J0X
1.非负性:
规范性:
可列(完全>可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件
有
则称实数为事件的概率。
由概率的定义可以推得概率的如下一些性质。
性质1不可能事件的概率为零,即。
证令,且则,于是
从而由得。
性质2概率具有有限可加性,即若事件两两互不相容,则证因为
所以由概率得可列可加性及性质1,得
性质3对任何事件,有
证因为
所以由
，
即得，同时由,可推得：对任一事件,有
性质4对事件、，若,则有
证:由图１－１可知
且
因此由性质2,得
，即
再由，得
性质5对任意两事件、，有。
证由图１－２可知
故得
，及
将以上两式相减,并将移至等号右端，即得
性质５还可推广到n个事件的情况.。当n=3时，有
一般地，设A1，A2，…，An为n个事件，则有
1.某人外出旅游两天。拒天气预报，第一天下雨的概率为0.6，
第二天下雨的概率为0.3，两天
都下雨的概率为0.1。试求：
1.第一下雨而第二天不下雨的概率；
第一天不下雨而第二天下雨的概率；
至少有一天下雨的概率；
两天都不下雨的概率；
4.
至少有一天不下雨的。
5.
解设Ai表示第i天下雨的事件，i=1，2。由题意，有
P(A1>=0.6，P(A2>=0.3，P(A3>=0.1
(1>设B表示第一天下雨而第二天不下雨的事件，则由
，且
得
2.设C表示第一天不下雨而第二天下雨的事件，则同(1>的解
法，有
设D表示至少有一天下雨的事件，则由
。
设E为两天都不下雨的事件，则由
设F表示至少有一天不下雨的事件，则
例2某地发行A,B,C三种报纸.已知在市民中订阅A报的有45%,订阅B报的有35%,订阅C报的有30%,同时订阅A,及B报的有10%,同时订阅A报及C报的有8%,同时订阅B报及C报的有5%.同时订阅A,B,C报的有3%.试求下列事件的概率:LDAYtRyKfE
1.只订A报,
只订A及B报。
至少订一种报纸。
不订任何报纸。
恰好订两种报纸。
恰好订一种报纸。
6.
至少订一种报纸.
7.
解设A,B,C分布表示订A报、订B报、订C报的事件，则由题设，有
P(A>=0.45,P(B>=0.35,P(C>=0.30,P(AB>=0.10,P(AC>=0.08,P(BC>=0.05,P(ABC>=0.03.Zzz6ZB2Ltk