数学建模方法详解--三十四种常用算法
目录
一、主成分分析法(2)
二、因子分析法(5)
三、聚类分析(9)
四、最小二乘法与多项式拟合(16)
五、回归分析（略）(22)
六、概率分布方法（略）(22)
七、插值与拟合（略）(22)
八、方差分析法(23)
九、逼近理想点排序法(28)
十、动态加权法(29)
十一、灰色关联分析法(31)
十二、灰色预测法(33)
十三、模糊综合评价(35)
十四、隶属函数的刻画（略）(37)
十六、蒙特卡罗(MC)仿真模型(42)
十七、BP神经网络方法(44)
十八、数据包络分析法（DEA）(51)
十九、多因素方差分析法（）基于SPSS）(54)
二十、拉格朗日插值(70)
二十一、回归分析（略）(75)
二十二、概率分布方法（略）(75)
二十三、插值与拟合（略）(75)
二十四、隶属函数的刻画（参考《数学建模及其方法应用》）(75)
二十五、0-1整数规划模型（参看书籍）(75)
二十六、Board评价法（略）(75)
二十七、纳什均衡（参看书籍）(75)
二十八、微分方程方法与差分方程方法（参看书籍）(75)
二十九、莱斯利离散人口模型（参看数据）(75)
三十、一次指数平滑预测法（主要是软件的使用）(75)
三十一、二次曲线回归方程（主要是软件的使用）(75)
三十二、成本-效用分析（略）(75)
三十三、逐步回归法（主要是软件的使用）(75)
三十四、双因子方差分析（略）(75)
一、主成分分析法
一）、主成分分析法介绍：
主成分分析（principalcomponentsanalysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法。旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。
二）、主成分分析法的基本思想：
例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。
三）、主成分分析法的数学模型：
其中：
为第j个指标对应于第个主成分的初始因子载荷，
为第l个主成分对应的特征值
根据主成分表达式得出综合得分模型：
四）、主成分分析法的基本原理：
五）、主成分分析法的作用：
概括起来说，主成分分析主要由以下几个方面的作用。
1．主成分分析能降低所研究的数据空间的维数。即用研究m维的Y空间代替p维的X空间(m＜p)，而低维的Y空间代替高维的x空间所损失的信息很少。即：使只有一个主成分Yl(即m＝1)时，这个Yl仍是使用全部X变量(p个)得到的。例如要计算Yl的均值也得使用全部x的均值。在所选的前m个主成分中，如果某个Xi的系数全部近似于零的话，就可以把这个Xi删除，这也是一种删除多余变量的方法。
2．有时可通过因子负荷aij的结论，弄清X变量间的某些关系。
3．多维数据的一种图形表示方法。我们知道当维数大于3时便不能画出几何图形，多元统计研究的问题大都多于3个变量。要把研究的问题用图形表示出来是不可能的。然而，经过主成分分析后，我们可以选取前两个主成分或其中某两个主成分，根据主成分的得分，画出n个样品在二维平面上的分布况，由图形可直观地看出各样品在主分量中的地位，进而还可以对样本进行分类处理，可以由图形发现远离大多数样本点的离群点。
4．由主成分分析法构造回归模型。即把各主成分作为新自变量代替原来自变量x做回归分析。
5．用主成分分析筛选回归变量。回归变量的选择有着重的实际意义，为了使模型本身易于做结构分析、控制和预报，好从原始变量所构成的子集合中选择最佳变量，构成最佳变量集合。用主成分分析筛选变量，可以用较少的计算量来选择量，获得选择最佳变量子集合的效果。
六）、主成分分析法的计算步骤：
1、原始指标数据的标准化采集p维随机向量x=(x1,X2,...,Up)T)n个样品xi=(xi1,xi2,...,dip)T，I=1,2,…,n，