我们分析了在稳定或不稳定固定点附近的随机动力学结构，那里的力可以通过线性化近似。我们发现，总能在附近定义一个决定玻尔兹曼式稳态分布的成本函数。这样的稳态分布不需要满足通常的详细平衡条件，而可能有的是一个无散度的概率流。在线性情况下，力可以分成两部分，其中一部分与扩散运动提供详细平衡，而另一部分则在恒定成本函数的表面上引起循环运动。通过使用力矩阵的Jordan变换，我们找到了成本函数的显式构造。我们讨论了变换的奇异性及其对稳态分布的影响。这种玻尔兹曼式分布可能不是唯一的，非线性效应和边界条件可能会改变分布，并即使在固定点附近也引起额外的电流。
玻尔兹曼分布成本函数详细平衡循环运动
在许多情况下，并没有热力学平衡，但是外部稳定和波动的力将系统驱动进入一个稳态或变化非常缓慢的状态，其中详细平衡原理不成立。由外部电池供电的灯泡或以稳定速率引入反应物并以稳定速率移走反应产物的化学反应，都是这种情况的例子。即使在一个几乎处于平衡的系统中，例如一个在自由能局部最小值处于平衡状态的系统，但它可以通过鞍点到达一个更深的最小值，鞍点附近的行为不满足详细平衡原理，因为鞍点上存在电流。
对于没有详细平衡的这类系统，没有一种通用的方法可以从对稳态和随机力的了解中获得平衡分布，例如玻尔兹曼分布为具有详细平衡的系统提供的那种。在我们最近的研究中，我们中的一位（6）开发了一种在稳定固定点附近有效的方法是，即使在详细平衡不成立的情况下，也能获得类似于玻尔兹曼分布中能量的成本函数。如果这种方法可以扩展到固定点附近的线性区域之外，它可能为处理这类问题提供了一种新的方法（7,8）。
自从Onsager的工作（9）以来，人们一直在寻找这样的成本函数。截至1990年的结果已被vanKampen等人总结（10）。一般来说，这种努力被视为不太成功（11）。
Lindner等人（13）回顾了漂移力的固定点和稳态分布的极值不匹配的研究。已经观察到丰富的现象，但这种不匹配被视为“实验”结果。没有数学理论解释为什么会发生这种情况。
在另一份调查中，通过例子展示了噪声的有用和建设性作用（14）。人们认为噪声对于建立动态系统的功能至关重要。再次遇到了不匹配问题，构建的势能函数通常被视为近似。
从不同的视角，人们一直试图在混沌假设的基础上为非平衡过程提供坚实的基础（15）。混沌假设假设系统足够混沌，以至于系统参数的变化会导致一个唯一的参数依赖稳态，即使吉布斯熵的变化不是路径独立的（16）。在这个假设下，得到了一个有趣且重要的涨落定理，进一步表明了玻尔兹曼式稳态分布函数的存在。因此，在这种情况下很可能存在一个成本函数。这种方法的困难在于，很少有实际的物理系统被证明满足混沌假设。
由于亚稳态是如此重要的现象，以及在构建成本函数时遇到的困难，当计算亚稳态的寿命时，人们已经努力绕过成本函数问题。这种努力导致了Machlup-Onsager泛函方法，由Freidlin和Wentzell总结（17）。这种方法最近一直在积极追求（18,19）。
在这项工作中，我们仔细讨论了我们在任何固定点（无论是稳定的还是不稳定的）附近线性区域构建成本函数的方法的基础。我们表明，这种方法在广泛的条件下给出了一个明确的指示。我们发现的唯一不给出成本函数明确表达的情况是，存在一个子空间，其中噪声不作用，力也不将状态带出该子空间。
在陈述问题时，我们对带噪声的线性系统进行了一般性讨论。在力的分解中，我们展示了如何通过对力矩阵分解为两个因子来构建成本函数，其中一个是对称的成本函数矩阵，这给出了一个指数形式的概率密度，指数与成本函数成比例。这种结果的一般性证明在附录中获得，在那里我们利用了具有不完整一组特征向量的Jordan变换。在奇异性中，我们讨论了变换的奇异性，并确定了两种类型的奇异性，其中一种对应于成本函数的平坦子空间，而另一种对应于动态将系统分离成两个或更多不相交子空间的可能性。在其他稳态解中，我们讨论了除玻尔兹曼式解之外的稳态分布方程的解，并认为这类解在试图将这种解扩展到非线性区域时可能很重要。在讨论中，我们讨论了这种力矩阵分解的重要性及其与详细平衡原理的关系。
陈述问题
自然科学中的许多过程都可以定量模拟。这种建模的一个特别重要的类别是由一阶微分方程（20）描述的，由随机项（10）补充。我们从非线性动力学方程开始
在固定点（我们认为是原点）附近，力可以用它的线性近似来代替
Ao(6)注意到，在稳定不动点附近的线性区域，方程。1和3可以分解为以下形式
力的分解
在这一节中，我们开发了一种通用方法，用于对方程5中给出的力矩阵进行分解。由于这个方程以及U、D的对称性和Q的反对称性导致了
为了完整起见，我们必须考虑对称F的特征值退化的一般情况，在这种情况下可能没有完整的特征向量集。在附录中，我们使用非对称矩阵的Jordan表示来处理这种情况。
因此，如果F^Tu或F^T的任何幂作用在u上仍然在零空间中，那么u仅在这个零空间内。
这个条件与人们所期望的一致。
噪声不需要直接作用于所有坐标，但是，如果没有噪声作用的子空间，并且该子空间被运动保持不变，那么在这个子空间内就不可能达到平衡，除非是向稳定固定点的坍塌。
其他稳态解
尽管方程6中给出的玻尔兹曼式形式是Fokker-Planck方程的一个稳态解，但只有在某些相当严格的边界条件下它才是唯一的解。通过考虑方程在稳定固定点附近的一维形式，可以清楚地看出为什么这可能是一个问题，该形式可以写为：
除了类似玻尔兹曼的解正比于，这个方程还有一个形式为
要在线性系统的一个静止点处获得这样的电流，需要施加一些外部的电流源和汇。然而，如果我们想要根据其在固定点附近的近似线性行为来描述一个非线性力场，相邻的邻域可以相互为对方产生外部电流源和汇，因此如果我们在局部区域线性化，就不应该对发现这样的电流感到惊讶。这些“外部”电流不仅会在边界处产生流动，而且会将流动线从方程8所示的恒定成本函数U的表面上移开。
在成本函数的最小值附近，类似于一维方程24的携带电流的解将使密度的最大值从固定点移开，因为的梯度不为零。因为，正如我们在讨论这个方程时所指出的，这样一项的幅度必须随着线性化区域的大小指数级下降，以防止出现负密度，通过在稳定固定点附近的常规摄动理论应该不可能获得这样的一项。我们对这类非线性系统的数值探索表明，这些携带电流的解是重要的，因为密度的最大值从力的零点移开了。一种可能性是，除了由成本函数确定的之外，引入这样的携带电流的状态，使这种方法适用于非线性系统。
当包括F(c)引起的循环运动时，F和D的特征值之间的关系变得更加复杂。如果一个二维子空间中的运动主要由子空间内的快速循环运动支配，F将会有一对共轭复数特征值，因此它们有一个由特征值的实部给出的共同松弛率。这些可能性需要比我们已经给予的更详细的工作。
这种情况实际上与统计力学中通常遇到的情况没有太大的不同，至少如果使用经典而不是量子描述的话。对于一个阻尼的谐振子，相空间中有循环运动，以及作用在动量坐标上的热噪声和粘滞阻尼，而对于腔体内的黑体辐射，除了腔壁的电阻性阻尼和噪声外，还有电场和磁场之间的循环运动。
值得注意的不是稳态密度可以写成成本函数的指数，因为如果有稳态，我们总是可以定义成本函数为稳态密度的负对数。我们发现对于这类线性随机系统，通常确实可以讲力分解为两部分，其中一部分在最严格的意义上给出详细平衡，而另一部分在恒定成本函数的表面上给出循环运动。
这项技术是否可以扩展到非线性系统是一个重要的问题，但需要仔细研究。我们已经基于非线性项的摄动包含进行了初步工作，并与数值计算进行了比较。显然，方程4和5需要针对非线性效应进行一些修改，而且如果我们尝试通过匹配近似成立线性区域的有限区域来解决问题，匹配可能会引入除了玻尔兹曼式ρ(0)之外的线性化Fokker-Planck方程的解。不同的区域将不得不作为它们相邻区域的源和汇。