全文字数1w+，非常烧脑，请各位读者耐心阅读。
1.介绍
1.1计算机科学与工程（CSE）
本期推送的主题属于计算科学与工程（CSE）的范畴。CSE是一门相对较新的学科，涉及计算模型的开发和应用，通常与高性能计算相结合，以解决工程分析和设计（计算工程）以及自然现象（计算科学）中出现的复杂问题。CSE被描述为仅次于理论和实验的“第三种发现模式”。在CSE领域中，这些是解决问题的步骤。首先，选择或发展一个最能描述该问题的数学模型。模型开发的这一步是由具有足够数学技能的人手工完成的。大多数的数学模型都是用微积分来建立的。因此，它们是不适合于数字计算机的连续模型。其次，推导出这个数学模型的计算模型。计算模型是数学模型的近似形式，是可以用计算机求解的离散形式。第三，这个离散模型是用一种编程语言(过去是Fortran，现在是C++和Python)实现的，以便有一个计算代码或平台。对于固体力学，流行的计算平台是Abaqus和LS-Dyna。最后，这些计算平台被用来进行计算机模拟或计算机实验。
我们想简要地讨论一下为什么微积分在科学和工程学中占有如此重要的地位。这一切都始于伽利略和牛顿的著作，他们发现自然定律可以被数学，特别是微积分，很好地描述。如果天体的运动可以用数学来模拟，那么将其应用于人类问题就是合乎逻辑的。这正是伯努利兄弟、欧拉、拉格兰奇、柯西等天才在300年前所做的事情。这些人发展了偏微分方程，可以模拟流体、气体和固体的变形等一系列现象。正是这些偏微分方程描述的模型把人类送上了月球，给了我们手机，电脑，无线电。或者电视。或者给准妈妈做超声波，或者给迷路的旅行者做GPS。
微积分分为微分和积分两部分。当我们从有限走向无限时，后者是有趣的。为了数值求解，我们反过来做:从无穷回到有限。我们用一个只包含有限个自由度的网格来代替一个具有无限个自由度的实体。
因此，模拟仅仅是不够的，因此，对于任何问题都应该采用联合实验模拟方案。有趣的是，大约70年前创造了“有限元分析”这个词的R.W.克拉夫停止了这个方法的研究，转而进行实验(克拉夫1980)。
2.物质点法的简介
材料点法是粒子单元法(PIC)的最新发展之一。第一个PIC技术是在20世纪50年代早期由哈洛(1964)和哈洛(2004)在洛斯阿拉莫斯国家实验室发展起来的，主要应用于流体力学。1986年，Brackbill和Ruppel通过引入FLIP-流体隐式粒子方法(BrackbillandRuppel1986;Brackbilletal.1988)克服了第一批PIC受到过度能量耗散的困扰。在计算机图形学方面，PIC/FLIP已经成为流体模拟的行业标准方法(ZhuandBridson2005)。FLIP后来被新墨西哥大学的Sulsky及其同事(Sulsky等，1994,1995b)修改并定制用于固体力学中的应用，此后被称为材料点方法(Sulsky和Schreyer1996)。
在FLIP中，应变和应力存储在细胞中心。然而，在MPM，它们是由粒子自身携带的。因此，MPM颗粒携带材料的全部物理状态，包括位置、质量、速度、体积、应力、温度等。注意，在PIC中，粒子只携带位置和质量。
MPM建立在两个已经在PIC中使用的主要概念之上，即使用携带物理信息的拉格朗日材料点，以及用于连续场(即位移场)离散化的背景欧拉网格。对拉格朗日和欧拉描述的简短描述，请看图1。
2.1拉格朗日粒子与欧拉网格
在MPM中，连续体由在整个变形过程中跟踪的有限组np拉格朗日材料点（或粒子）离散化。粒子和物质点这两个术语将在本书中互换使用。在原始MPM中，粒子表示的子区域没有明确定义。只跟踪它们的质量和体积。在先进的MPM配方中，如GIMP或CPDI，这些子区域的形状被跟踪。每个物质点有一个关联的位置xtp(p=1,2，...，np)，质量mp，密度ρp，速度vp，变形梯度Fp，柯西应力张量σp，温度Tp，以及任何其他内部状态变量必要的本构模型。总的来说，这些物质点提供了连续体的拉格朗日描述。由于每个物质点在任何时候都包含一定量的质量，质量守恒就自动得到满足。
Sulsky开发的原始MPM实际上是一个更新的拉格朗日格式。对于这种MPM，模拟物体在变形过程中占据和将占据的空间由一个称为背景网格的网格离散，在该网格中求解动量平衡方程。另一方面，在总拉格朗日MPM（deVaucorbeiletal.2020）中，背景网格仅覆盖其参考配置中物体覆盖的空间。我们参考图2，了解ULMPM和TLMPM的笛卡尔网格上叠加的材料点的图形说明。栅格是固定的，粒子在栅格上移动（图3）。
网格的使用有以下好处。首先，它消除了直接计算粒子-粒子相互作用的需要，使该方法具有相当的可扩展性。其次，通过这种背景欧拉网格可以很容易地处理碰撞（事实上，该方法固有的是防滑、不穿透的接触）。第三，动量方程是在网格上求解的，由于网格点比粒子少得多，这是一种非常有效的替代方法。大多数情况下，由于效率的原因，在整个模拟过程中使用固定的规则笛卡尔网格。
图2：MPM离散化：空间由背景网格离散化，背景网格可以是笛卡尔网格或非结构化网格（未显示），而固体则使用粒子离散化。更新后的拉格朗日MPM网格覆盖整个变形空间，而总拉格朗日MPM栅格仅覆盖初始构型
图3：MPM离散化：网格是固定的，粒子在其上移动
2.2MPM的基本算法
MPM最初是为了解决快速瞬态冲击固体力学问题而开发的（Sulsky等人，1994）。因此，MPM是使用显式求解器开发的，对于此类问题，它比隐式求解器更有效。然后将该方法应用于负载率较低的其他应用。对于这些问题，隐式求解器更适合。由于显式MPM算法比隐式算法更简单，因此在下文中，使用显式求解器提出了更新的拉格朗日MPM算法。隐式MPM公式也进行了讨论。根据更新后的拉格朗日MPM，只需稍作修改即可获得总拉格朗日MPM。
图4：物质点法：计算步骤由四个步骤组成：（1）P2G（粒子到网格），其中信息从粒子映射到节点；（2）网格更新，其中为节点求解动量方程，（3）G2P（栅格到粒子），其中更新的节点随后被映射回粒子以更新它们的位置和速度，以及（4）栅格重置，其中栅格被重置。ULFEM中没有虚线框中的操作
由于拉格朗日粒子和背景网格的结合，很难对MPM进行精确分类。在我们看来，当MPM求解弱形式的动量方程时，它可以被视为一种无网格伽辽金方法，类似于EFG、RKPM和OTM。MPM与其他GalerkinMM的区别在于构造形状函数的容易性。事实上，它们是在固定的欧拉网格上定义的简单有效的多项式。请注意，大多数无网格形状函数是在节点云上定义的计算成本高昂的有理函数。当网格不固定时，MPM与OTM非常相似（反之亦然）。不同之处在于OTM采用了最大值近似（Iaconeta等人，2017）。与OTM相反，MPM使用背景网格，如果不固定，将产生网格纠缠问题，类似于更新的拉格朗日有限元。
MPM的优点包括:
1.无网格纠缠问题;无误差地通过物质点的运动使物质特性平移;
2.该方法自动采用防滑、防渗透接触算法，即不需要额外的计算代价;
3.利用欧拉网格的背景，直接有效地处理多体的摩擦接触;
4.适用于以图像为基础的模拟，因为将图像转换为MPM模型;
5.与现有的无网格方法相比，MPM的计算机实现非常简单。通过对计算域的分解，可以方便地为并行分布式存储计算机编写MPM算法程序;
6.利用现有经过充分研究的有限元算法，因为MPM与FEM算法的相似性。
7.适用于难以转换成优质有限元网格的非常复杂的几何问题。在这方面，MPM与浸入边界方法(Mittal和Iaccarino2005;Schillinger等，2012)及其最近的变体如有限细胞方法(Parvizian等，2007)和切割FEM(Burman等，2015)有相似之处。所有这些方法，不管名称如何，都将任意形状的实体嵌入比实体大的立方体(3D)中。立方体由规则的结构网格组成，该网格具有光滑的Ck基函数，可以是B样条或T样条。
除了MPM提供的这些优点之外，与任何数值方法一样，它也有自己的一系列缺点：
1.大的内存占用空间，因为网格必须覆盖主体占据的整个区域；
2.MPM的形式化分析（收敛性、误差和稳定性）极其困难；
3.与有限元法相比，边界条件的实施很困难；
4.精度低于FEM，因为材料点通常不位于数值积分的最佳位置。
第一项只应用于ULMPM，而不是TLMPM，因为后面的网格只覆盖初始的未变形配置。由于颗粒的不规则分布和颗粒相对于网格的相对运动，MPM的形式分析是非常困难的。如果要进行这样的分析，需要许多假设来使分析易于管理，即，一维线性弹性材料，粒子不会从一个细胞移动到另一个细胞(Yorketal.1999)。边界条件难以执行的原因是缺乏对边界的明确表示。但是，它仍然比其他一些方法(例如:SPH)(Raymondetal.2018).然而，细胞中的广义粒子(GPIC)不存在这个问题(Nguyenetal.2021)。最后，低精度只适用于小型和中等大型变形问题。