19．某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号(从1号到50号)的卡片(除序号不同外其它均相同)打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片．
(1)在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10(为了不重复计数，20只计一次)，求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；
(2)若规定：取到的卡片上序号是k(k是满足1≤k≤50的整数)，则序号是k的倍数或能整除k(不重复计数)的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；
(3)请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．
参考答案与试题解析
一.选择题(本题共12个小题；每小题3分，四个选项中，只有一项符合题目要求.)
1．下列各数中，倒数为2的数是()
[考点]倒数．
[分析]根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
故选：B．
[点评]主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．下列说法正确的是()
A．“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨
B．数据4，3，5，5，0的中位数和众数都是5
C．要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用普查的方式
[考点]概率的意义；全面调查与抽样调查；中位数；众数；方差．
[专题]常规题型．
[分析]根据概率的意义，众数、中位数的定义，以及全面调查与抽样调查的选择，方差的意义对各选项分析判断利用排除法求解．
[解答]解：A、“明天降雨的概率是50%”表示明天降雨和不降雨的可能性相等，不表示半天都在降雨，故A选项错误；
B、数据4，3，5，5，0的中位数是4，众数是5，故B选项错误；
C、要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用抽样调查的方式，故C选项错误；
D、∵方差s2甲＞s2乙，
∴乙组数据比甲组数据稳定正确，故D选项正确．
故选：D．
[点评]本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念；用到的知识点为：不太容易做到的事要采用抽样调查；反映数据波动情况的量有极差、方差和标准差等．
3．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为()
A．10cm2B．10πcm2C．20cm2D．20πcm2
[考点]圆锥的计算．
[专题]数形结合．
[分析]圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
[解答]解：圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．
[点评]本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面积的计算方法．
A．7B．3C．1D．﹣7
[考点]代数式求值．
[专题]整体思想．
[分析]把x=1代入代数式求出a、b的关系式，再把x=﹣1代入进行计算即可得解．
故选：C．
[点评]本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
A．(﹣2，3)B．(2，﹣3)C．(3，﹣2)或(﹣2，3)D．(﹣2，3)或(2，﹣3)
[考点]相似多边形的性质；坐标与图形性质．
[解答]解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∴位似比为：1：2，
∵点B的坐标为(﹣4，6)，
∴点B′的坐标是：(﹣2，3)或(2，﹣3)．
[点评]此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用．
[考点]平行线分线段成比例．
[分析]先由AD=2BD，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，则可求得答案．
[解答]解：∵AD=2BD，
∴BD：AB=1：3，
∵DE∥BC，
∴CE：AC=BD：AB=1：3，
∵EF∥AB，
∴CF：CB=CE：AC=1：3．
故选B．
[点评]此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
7．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是()
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．频率就是概率
[考点]概率的意义．
[分析]利用频率与概率的关系分别分析得出即可．
[解答]解：A、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确；
B、频率与试验次数无关，错误；
C、概率是随机的，与频率无关，错误；
D、频率就是概率，错误．
故选：A．
[点评]此题主要考查了概率的意义，正确掌握频率与概率的关系是解题关键．
[考点]二次函数的图象；反比例函数的图象．
[专题]压轴题．
[分析]本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．
由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，
∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，
∴对称轴在﹣1与0之间，
[点评]此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．
9．如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是()
A．S1＞S2＞S3B．S3＞S2＞S1C．S2＞S3＞S1D．S1＞S3＞S2
[考点]简单组合体的三视图．
[分析]根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图，根据边角面积的大小，可得答案．
[解答]解：主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯视图是一个正方形的面积，故
S1＞S3＞S2，
[点评]本题考查了简单组合体的三视图，分别得出三视图是解题关键．
10．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是()
A．30°B．45°C．60°D．70°
[考点]圆周角定理．
[专题]计算题．
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
[点评]本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
[考点]反比例函数系数k的几何意义．
[专题]规律型．
[解答]解：设OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣1An=AnAn+1=t，则An的坐标为(0，nt)，An+1的坐标为(0，(n+1)t)，
12．如图，A在O的正北方向，B在O的正东方向，且A、B到点O的距离相等．甲从A出发，以每小时60千米的速度朝正东方向行驶，乙从B出发，以每小时40千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，位于点O处的观察员发现甲、乙两人之间的夹角为45°，即∠COD=45°，此时甲、乙两人相距()
[考点]全等三角形的应用；勾股定理的应用．
[分析]利用旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得出△COD≌△B′OC(SAS)，则B′C=DC进而求出即可．
[解答]解：由题意可得：AB′=BD=40km，AC=60km，
将△OBD顺时针旋转270°，则BO与AO重合，
在△COD和△B′OC中
∴△COD≌△B′OC(SAS)，
则B′C=DC=40+60=100(km)，
[点评]此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，得出△COD≌△B′OC是解题关键．
二、填空题(本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果)
[考点]函数关系式．
[分析]根据观察，可发现规律：分子a的2x次方，分母是x的2倍减1．
[点评]本题考查了函数关系式，观察式子得出规律：分子为a的2x次方，分母是x的2倍减1．
[考点]整式的混合运算；解一元一次方程．
[专题]压轴题；新定义．
[分析]根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．
整理得：x2+2x+1﹣(1﹣2x+x2)﹣8=0，即4x=8，
解得：x=2．
故答案为：2
[点评]此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．
15．|a﹣b|=b﹣a，且|a|=3，|b|=2，则(a+b)3的值为﹣1或﹣125．
[考点]有理数的乘方；绝对值．
[分析]根据题意，利用绝对值的代数意义求出a与b的值，即可确定出原式的值．
[解答]解：∵|a﹣b|=b﹣a，且|a|=3，|b|=2，
∴b﹣a＞0，即b＞a，
∴a=﹣3，b=2或a=﹣3，b=﹣2，
则原式=﹣1或﹣125．
故答案为：﹣1或﹣125
[点评]此题考查了有理数的乘方，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
[考点]列表法与树状图法．
[分析]列表得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率．
[解答]解：列表得：
所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，
[点评]此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
[考点]相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．
[解答]解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∵QO=OC，
∵正方形OABC的边AB∥OC，
∴△BPQ∽△OCQ，
三．解答题(本题共8个小题，共69分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步)
[考点]实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数值．
[分析](1)原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用乘方的意义计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；
(2)不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．
[解答]解：(1)原式=3﹣2+1﹣1+2=3；
(2)去分母得：3x﹣6≤4x﹣3，
解得：x≥﹣3．
[点评]此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
[考点]游戏公平性．
[分析](1)由在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10(为了不重复计数，20只计一次)，直接利用概率公式求解即可求得答案；
(2)无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，而很明显抽到其他序号学生概率不为100%．可知此游戏不公平；
(3)可设计为：先抽出一张，记下数字，然后每个数字加5，得到序号，若数字加5超过50，则减掉50，差为序号，直到得到10人为止．
[解答]解：(1)∵在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10(为了不重复计数，20只计一次)，
∴是20倍数或者能整除20的数有7个，
(2)不公平；
∵无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，
而很明显抽到其它序号学生概率不为100%．
∴不公平；
(3)先抽出一张，记下数字，然后每个数字加5，得到序号，若数字加5超过50，则减掉50，差为序号，直到得到10人为止．
(1)已知：线段a、b和∠a，作△ABC，使得∠A=∠a，AC=b，BC=a．
在图中的方框内完成作图，并在下列横线上填上适当的文字．
作法：①∠MAN=∠a；
②在射线AM上截取线段AC=b；
③以C为圆心、a长为半径画弧交射线AN于点B；
④连接CB，则△ACB就是所求作的三角形．
(2)计算：在上述△ABC中，若∠α=30°，a=5，b=8，则三角形第三边的长度为多少？
(3)在上述作图和计算中，我们发现满足条件的△ABC不唯一，即两边及其中一边所对的角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么再增加什么条件，便可判定两个三角形全等．
[考点]作图-复杂作图；全等三角形的判定；勾股定理．
[分析](1)根据作图要求结合画图过程作图即可，作出的B点位置不是一个；
(2)过C作CD⊥AN，利用直角三角形的性质可得CD长，再根据勾股定理计算出AD长和BD长，即可得答案；
(3)添加三角形的形状要求，便可作出唯一的三角形．
[解答]解：(1)作法：①∠MAN=∠a；
④连接BC，则△ACB就是所求作的三角形．
(2)过C作CD⊥AN，
∵∠α=30°，b=8，
∵a=5，
∴CB=5，
(3)再增加三角形为锐角三角形，或三角形为直角三角形，或添加三角形为钝角三角形的条件，三角形的形状便可以确定，便可判定两个三角形全等．
[点评]此题主要考查了复杂作图，以及勾股定理的应用，关键是正确根据作图要求画出图形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
21．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长(结果保留根号)．
[考点]解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
[专题]计算题；几何图形问题．
[分析]由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
[解答]解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△CDE中，
[点评]命题立意：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
[考点]一元二次方程的应用．
[专题]代数几何综合题．
[分析](1)直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
(2)利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
(3)利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
[解答]解：(1)△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴(a+c)×(﹣1)2﹣2b+(a﹣c)=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)当△ABC是等边三角形，∴(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
[点评]此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．
23．一次数学活动课上，两位学生小韩和小苏利用计算机软件探索函数问题，下面是他们的交流片断．如图中的(1)(2)．
问题解决：
(2)记图①和图②中MN为d1，d2，分别求出d1，d2与m之间的函数关系式，并指出函数的增减性．
拓广探索：
(3)学生小王又提出新的问题如图③二次函数的图象，求m为何值时，OP、PM、PN、MN四个长度中，其中任意三条能围成等边三角形？
[考点]二次函数综合题．
[专题]综合题；二次函数图象及其性质．
(2)如图①，表示出d1与m的关系式，即可作出判断；如图②，表示出d2与m的关系式，即可作出判断；
(3)把x=m(m≠0)分别代入抛物线解析式，表示出|MN|=OP=m，分两种情况考虑：当OP=MN=PM；当OP=MN=PM，分别求出m的值即可．
(2)在图①中，|MN|=2m﹣m=m，即d1=m，d1随着m的增大而增大；
(3)由题意，把x=m(m≠0)分别代入抛物线y=x2﹣4x，y=x2﹣3x中，有|MN|=|yN﹣yM|=m，即MN=OP=m，
分两种情况考虑：当OP=MN=PM，即|m2﹣4m|=m时，解得m=3，5；
当OP=MN=PM，即|m2﹣3m|=m时，解得m=2，4，
综上，m=2，3，4，5．
[点评]此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若AD：AO=8：5，BC=3，求BD的长．
[考点]切线的判定；相似三角形的判定与性质．
[解答]解：(1)BD是⊙O的切线；理由如下：
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A，
∵∠CBD=∠A，
∴∠ODA=∠CBD，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
即BD⊥OD，
∴BD是⊙O的切线；
(2)设AD=8k，则AO=5k，AE=2OA=10k，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠C，
又∵∠CBD=∠A，
∴△ADE∽△BCD，
[点评]本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形相似得出比例式是解决问题(2)的关键．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(﹣3，m)，求m和k的值；
(3)设二次函数的图象与x轴交于点B，C(点B在点C的左侧)，将二次函数的图象在点B，C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n＞0)个单位后得到的图象记为G，同时将(2)中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．
[考点]二次函数综合题；解一元一次方程；根的判别式；一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质．
[分析](1)把x=0和x=2代入得出关于t的方程，求出t即可；
(2)把A的坐标代入抛物线，即可求出m，把A的坐标代入直线，即可求出k；
设两个临界的交点为(﹣n﹣1，0)，(3﹣n，0)，代入直线的解析式，求出n的值，即可得出答案．
即A(﹣3，﹣6)，
代入y=kx+6得：﹣6=﹣3k+6，
解得：k=4，
即m=﹣6，k=4．
此时直线平移后的解析式是y=4x+6+n，
如果平移后的直线与平移后的二次函数相切，
即n=0，
∵与已知n＞0相矛盾，
∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，
∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，
则两个临界的交点为(﹣n﹣1，0)，(3﹣n，0)，
则0=4(﹣n﹣1)+6+n，
0=4(3﹣n)+6+n，
n=6，
[点评]本题考查了二次函数和一次函数的性质，平移的性质，根的判别式等知识点的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．