1.一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%，他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？
分析：(1)假设k个月后尚有
kA元，每月取款b元，月利率为r，根据题意，可每月取款，
根据题意，建立如下的差分方程：
1kkAaAb+=-，其中a=1+r(1)
每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出
kA的值。
(2)多少岁时将基金用完，何时
0kA=由（1）可得：
01
kkkaAAabr
-=-
若0nA=，01
n
nAraba=-
(3)若想用到80岁，即n＝(80-60)*12=240时，
240
0A=，240
02401
Araba=-
利用MATLAB编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：clearallcloseallclc
x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004;k=(0:n)';
y1=dai(x0,n,r,b);round([k,y1'])
functionx=dai(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;
fork=1:n
x(k+1)=a*x(k)-b;end
(2)用MATLAB计算：
A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240
思考与深入：
(2)结论：128个月即70岁8个月时将基金用完
(3)A0=1.5409e+005
结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。
分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为
x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2…
在r=0.005及x0=100000代入，用MATLAB计算得结果。
编写M文件如下:
functionx=exf11(x0,n,r,b)
a=1+r;
x=x0;
x(k+1)=a*x(k)+b;
end
MATLAB计算并作图:
k=(1:140)';
y=exf11(100000,140,0.0005,-1000);
所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。
如果要10年即n=120还清，则模型为：
r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^nb=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]
用MATLAB计算如下：
>>x0=100000;
>>r=0.005;
>>n=120;
>>b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]
b=1.1102e+003
所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。
3.在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为
2r；田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为2a。建立差
分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出50年的变化过程。(1)设12120.2,0.3,0.001,0.002,rraa====开始时有100只田鼠和50只猫头
鹰。
（2）1212,,,rraa同上，开始时有100只田鼠和200只猫头鹰。（3）适当改变参数12,aa（初始值同上）（4）求差分方程的平衡点，它们稳定吗？
分析：记第k代田鼠数量为kx，第k代猫头鹰数量为ky，则可列出下列方程：
1111
22()()kkkkkkkkxxrayxyyraxy++=+-=+-+
运用matlab计算，程序如下：
functionz=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2)x=x0;y=y0;fork=1:49
x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k);y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k);end
z=[x',y'];
(1)
z=disanti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1));holdon;
plot(1:50,z(:,2),'r')
(2)
z=disanti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1));holdon;
(3)
当a1,a2分别取0.002,0.002时，得到如下图像：
05101520253035404550
可见，当a1,a2参数在一定范围内改变时，猫头鹰与田鼠数量在一定范围内震荡，且不灭绝。(4)令1k
kxxx+==；1kkyyy+==
解方程得到如下结果：x=150y=200
经matlab验证如下：
z=disanti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1));holdon;
由此可知：平衡点为：x=150y=200
4.研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。草的生长遵从Logistic规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉1.6（密度单位）的草。若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为1.5。作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况进行讨论：
（1）比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况。（2）适当改变参数，观察变化趋势。